导 语
本期我们讲述铁一中模拟考试第14题,本题难度较大,综合性较强,对学生的计算能力要求较高。笔者给出了两种解法:其一,转化成二次函数,利用二次函数求最值完成。其二,主动点、从动点与定点夹角是∠PEM(定角),主动点距定点距离与从动点与定点距离之比是√10:5(定比),符合“瓜豆原理”,构造旋转相似,寻找点M轨迹即BE中垂线,转化点线最值解决。喜欢的朋友点个赞。
铁一中模考14题
如图,正方形ABCD中,AB=9,点E为AD上一点,且AE:ED=1:2,点P为边AB上一个动点,连接PE,过点E作EF⊥PE,交射线BC于点F,连接PF,点M为PF的中点,连接DM,则DM的最小值为__________。
铁一中模考14题解析(一)
解析:
铁一中模考14题解析(二)
解析:(主从联动)
主从联动又称为“瓜豆原理”,“旋转相似”,“捆绑变换”等,叫法不同而已;
一般情况下,在某些多动点问题中,动点之间一般存在某种关联,所以其运动之间必然存在某种关联性。
我们从图形变换的角度去分析两个动点之间的关联性:
从动点M随着主动点P的运动而运动,确定而确定,这里的定点E可以看作旋转中心,由∠PEF=90°,PE:EF=1:3
易得∠PFE是定角,点M为PF中点,则ME=MF
则∠MEF为定角,所以∠PEM也是定角
PE:EF=1:3 ,PE:PF=√10:10
所以PE:EM=√10:5(定比)
则点M可以看作是由点P绕定点E按逆时针旋转∠PEM,并同时扩大√10/2倍而来,每一个点M都是由相应的点P旋转而来。所以点M的运动路径就是由点P的运动路径决定的。
也可以理解为:△APE∽△MGE,AE:GE=√10:5,则GE=3√10/2
易得∠A=∠EGM=90°,则点G为BE中点,
点M在BE的垂直平分线上运动。
“极限法”考虑点M的始末位置
当点P与点A重合时,则点M与点G重合,
当点P与点B重合时,则点M与点H重合;
解析:(瓜豆原理)
第一步,确定旋转中心及旋转角度;
过点F作FK⊥AD交AD于点K,连接FM;
∠A=∠EKF=90°,∠PEF=90°
所以∠AEP+∠KEF=90°
∠APE+∠AEP=90°,所以∠APE=∠KEF
△APE∽△KEF
∴AE:FK=PE:EF=1:3
设PE=x,则EF=3x,PF=√10x;
因为点M为PF中点,则EM=1/2PF=√10x/2
PE:EM=√10:5
因为tan∠AEB=AB:AE=3,
在RT△EPF中,tan∠EPF=EF/PE=3
所以∠EPM=∠AEB
在RT△PEF中,点M为PF中点,
则EM=PM,∴∠PEM=∠EPM=∠AEB
点M可以看作是由点P绕定点E按逆时针旋转∠PEM度数,并同时扩大√10/2倍得到,
第二步,构造相似,确定点M的轨迹;
在RT△ABE中,AE=3,AB=9
则BE=3√10
取BE中点G,则GE=3√10/2
AE:GE=PE:EM=√10/5,∠AEP=∠GEM
△AEP∽△GEM
则∠A=∠EGM=90°(定角)
所以点M在BE的中垂线上远动,
当点P与点A重合时,点M与点G重合;
当点P与点B重合时,点M与点H重合;
过点D作DQ⊥GH交GH与点Q,
由DM≥DQ得,
点M与点Q重合时,DM最小
第三步,计算;
延长DQ交BC于点S,
因为DS⊥GH,EB⊥GH
则DS∥EB,ED∥BS
则四边形EDSB为平行四边形,
则BE=DS=3√10
在RT△BHG中,cos∠GBH=BG/BH=1:√10
BG=3√10/2,∴BH=15
ED=BS=6,所以SF=9
在RT△QSHF中,cos∠QSH=QS/SF=1:√10
QS=9√10/10
则DQ=DM最小=3√10-9√10/10
=21√10/10
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