导 语
本期我们讲述铁一中模拟考试第14题，本题难度较大，综合性较强，对学生的计算能力要求较高。笔者给出了两种解法：其一，转化成二次函数，利用二次函数求最值完成。其二，主动点、从动点与定点夹角是∠PEM（定角），主动点距定点距离与从动点与定点距离之比是√10:5（定比），符合“瓜豆原理”，构造旋转相似，寻找点M轨迹即BE中垂线，转化点线最值解决。喜欢的朋友点个赞。
铁一中模考14题
如图，正方形ABCD中，AB=9,点E为AD上一点，且AE:ED=1:2,点P为边AB上一个动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，连接PF，点M为PF的中点，连接DM,则DM的最小值为__________。
铁一中模考14题解析（一）
解析：
铁一中模考14题解析（二）
解析：（主从联动）
主从联动又称为“瓜豆原理”，“旋转相似”，“捆绑变换”等，叫法不同而已；
一般情况下，在某些多动点问题中，动点之间一般存在某种关联，所以其运动之间必然存在某种关联性。
我们从图形变换的角度去分析两个动点之间的关联性：
从动点M随着主动点P的运动而运动，确定而确定，这里的定点E可以看作旋转中心，由∠PEF=90°，PE:EF=1:3
易得∠PFE是定角，点M为PF中点，则ME=MF
则∠MEF为定角，所以∠PEM也是定角
PE:EF=1:3 ,PE:PF=√10:10
所以PE:EM=√10:5（定比）
则点M可以看作是由点P绕定点E按逆时针旋转∠PEM，并同时扩大√10/2倍而来，每一个点M都是由相应的点P旋转而来。所以点M的运动路径就是由点P的运动路径决定的。
也可以理解为：△APE∽△MGE，AE:GE=√10:5，则GE=3√10/2
易得∠A=∠EGM=90°，则点G为BE中点，
点M在BE的垂直平分线上运动。
“极限法”考虑点M的始末位置
当点P与点A重合时，则点M与点G重合，
当点P与点B重合时，则点M与点H重合；
解析：（瓜豆原理）
第一步，确定旋转中心及旋转角度；
过点F作FK⊥AD交AD于点K，连接FM；
∠A=∠EKF=90°，∠PEF=90°
所以∠AEP+∠KEF=90°
∠APE+∠AEP=90°，所以∠APE=∠KEF
△APE∽△KEF
∴AE:FK=PE:EF=1：3
设PE=x，则EF=3x，PF=√10x；
因为点M为PF中点，则EM=1/2PF=√10x/2
PE:EM=√10:5
因为tan∠AEB=AB:AE=3，
在RT△EPF中，tan∠EPF=EF/PE=3
所以∠EPM=∠AEB
在RT△PEF中，点M为PF中点，
则EM=PM，∴∠PEM=∠EPM=∠AEB
点M可以看作是由点P绕定点E按逆时针旋转∠PEM度数，并同时扩大√10/2倍得到，
第二步，构造相似，确定点M的轨迹；
在RT△ABE中，AE=3，AB=9
则BE=3√10
取BE中点G，则GE=3√10/2
AE:GE=PE:EM=√10/5，∠AEP=∠GEM
△AEP∽△GEM
则∠A=∠EGM=90°（定角）
所以点M在BE的中垂线上远动，
当点P与点A重合时，点M与点G重合；
当点P与点B重合时，点M与点H重合；
过点D作DQ⊥GH交GH与点Q，
由DM≥DQ得，
点M与点Q重合时,DM最小
第三步，计算；
延长DQ交BC于点S，
因为DS⊥GH,EB⊥GH
则DS∥EB，ED∥BS
则四边形EDSB为平行四边形，
则BE=DS=3√10
在RT△BHG中，cos∠GBH=BG/BH=1：√10
BG=3√10/2，∴BH=15
ED=BS=6，所以SF=9
在RT△QSHF中，cos∠QSH=QS/SF=1：√10
QS=9√10/10
则DQ=DM最小=3√10-9√10/10
=21√10/10
联系客服
