中点四边形的探索与应用

实验

让数学更有趣

数学实验是数学教学的重要组成部分，通过数学实验能够有效提高学生的学习兴趣，增强学生的自主学习意识，提升学生的创新能力，有助于帮助学生获得学习数学的乐趣、学习数学的方法，对培养学生的实践能力、综合创新能力等方面有着重要的作用。

课题：中点四边形的探索与应用

01

实验

目的

1．通过画图、剪纸、计算机模拟操作，研究四边形的“中点四边形”，并在活动与思考中，进一步理解特殊四边形的性质与判定。

2．渗透常见数学思想与方法如一般与特殊、转化、整体思想等，进一步发展推理能力。

3、进一步培养综合分析问题的能力和严密的逻辑思维能力，获取成功的体验，并培养合作能力、动手操作能力。

02

实验

准备

1.器材：多媒体几何画板、A4纸、直尺、刻度尺、剪刀、铅笔、各种四边形。

2.知识准备：三角形中位线、特殊四边形的相关性质。

03

设计

说明

1、透过剪四边回顾四边形的相关性质；

2、探索任意四边形中点四边形的形状；

3、探索特殊四边形的形状；

4、探索中点四边形与原四边形周长、面积的关系。

04

实验

步骤

一、问题背景

园外乐木课堂上，有一块木块零料形状如图（左下角），我们要从中裁出一块平行四边形木块（做七巧板），并使四个顶点分别落在原木块的四条边上，可以如何裁？

二、实践操作

学生们在掌握了平行四边形判定的基础上，通过构造两组对边分别平行、一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分的四边形得到平行四边形。通过大量实践操作和绘图，同学们发现顺次连接四边形的各边对应等分点围成的四边形是平行四边形。其中顺次连接四边形各边中点最易操作！

三、理论探究

1、探索中点四边形的形状

定义：中点四边形（瓦里尼翁平行四边形）：如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE得到四边形EFGH，我们把这种四边形叫做中点四边形。

思考：当四边形ABCD是任意四边形时，中点四边形EFGH是什么图形？

【证明】连接AC

∵E、F分别为AB和BC中点

∴EF//AC且EF=1/2AC

同理，HG//AC，HG=1/2AC

∴EF//HG，EF=HG

∴四边形EFGH为平行四边形

精彩花絮：富有质疑精神的小周同学，提出若将原凸四边形改成凹四边形或者折四边形，中点四边形是否依然是平行四边形。同学们，借助几何画板改变原四边形的形状，发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形。在操作和观察的过程中，加深了对该结论的认识。  

2、探索特殊平行四边形的中点四边形

（1）当原四边形为平行四边形时，其中点四边形为平行四边形.

 (2)当原四边形为矩形时，其中点四边形为菱形.

(3)当原四边形为菱形时，其中点四边形为矩形.

（4）当原四边形为正方形时，其中点四边形为正方形.

思考：那么反过来是否成立?或者说若使中点四边形为菱形、矩形或正方形，原四边形至少满足什么条件？

3、几何画板验证

利用几何画板绘制四边形ABCD，构造四边形ABCD的“中点四边形EFGH”,拖动四边形ABCD的任一顶点，观察“中点四边形EFGH”的变化，试猜想：当四边形ABCD满足怎样条件时，“中点四边形EFGH”分别为为矩形、菱形、正方形？说明理由。

归纳：中点四边形与原四边形对角线有关。

（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形。

（2）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。

 分析：若AC=BD

∵EH=1/2BD,EF=1/2AC,

∴EH=EF

∴平行四边形EFGH为菱形。

（3）对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；

分析：若AC⊥BD,易证∠EFG=90,则平行四边形EFGH为矩形。

（4）对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。

 

分析：若AC=BD且AC⊥BD，易证平行四边形EFGH为正方形。

四、推广与应用

1、中点四边形的周长

中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。

【证明】连接AC、BD

∵四边形EFGH为平行四边形

∴四边形EFGH周长=2EF+2FG=AC+BD

2、中点四边形的面积

中点四边形的面积等于原四边形面积的1/2。

(1)【凸四边形证明】

∵S平行四边形EFPQ=MN·EF

=1/2BN·1/2AC

=1/2·1/2BN·AC

=1/2S∆ABC

同理S平行四边形HGPQ=1/2S∆ADC

∴S平行四边形EFGH=1/2S∆ABC+1/2S∆ADC

=1/2S四边形ABCD

(2)【凹四边形证明】

∵S平行四边形EFGH=1/2S∆ABC

S平行四边形HGNM=1/2S∆ADC

∴S平行四边形EFGH=S平行四边形EFGH

－S平行四边形HGNM

=1/2S∆ABC－1/2S∆ADC

=1/2S四边形ABCD

(3)【折四边形证明】

引言：在折四边形ABCD中，我们规定有向线段AB为正值，则有向线段CD为负值，则折四边形ABCD的面积为两三角形面积之差，即正边所构成的三角形与负边所在三角形面积之差。

∵S平行四边形EFGH=FM·EH

=1/2(MN－NF)·BD

=1/2(1/2AP-1/2CQ)·BD

=1/2(1/2AP·BD-1/2CQ·BD)

=1/2(S∆ABD－S∆BDC)

=1/2(S∆AOB－S∆COD)

=1/2S折四边形ABCD

3、通过已知两条对角线绘制特殊平行四边形

利用中点四边形与对角线的关系，为了得到特殊四边形，我们可以先使对角线符合相应要求，然后再构造原四边形及原四边形的中点四边形。

（1）若对角线相等,与对角线位置无关，可绘制菱形。

（2）若对角线垂直,与对角线大小无关，可绘制矩形。

（3）若对角线垂直且相等，可绘制正方形。

05

设计

反思

通过画图、剪纸、计算机模拟操作，探索四边形的“中点四边形”的形状、性质及周长和面积，进一步巩固了三角形中位线性质与特殊四边形的性质与判定，并掌握了中点四边形形状与对角线有关。透过探索特殊四边形和一般四边形，学生掌握了从特殊到一般的探索数学的方法。