高考数学：指数函数专题训练第一部分，熟记三条性质

指数函数定义：

指数函数图像：

高一上学期所学的函数：二次函数、幂函数、指数函数和对数函数中，指数函数算是比较简单的函数之一。

原因：

1、图像简单易记。

2、性质少，如下3条。

①图像恒过点(0,1)，整个图像位于x轴上方，即函数值恒大于0。

②a＞1时，单调递增；x＞0时，y＞1；x＝0时，y＝1；x＜0时，y＜1。

③0＜a＜1时，单调递减；x＞0时，y＜1；x＝0时，y＝1；x＜0时，y＞1。

这三条性质是指数函数的核心内容，必须熟记，但不要死记硬背，要在脑海中结合图像熟记它们。结合图像把这三条性质深深印在你的脑海里，比多做50道题要强得多。

这节课设置的练习题以基础为主，目的是帮助你记忆和理解对数函数的图像以及它的三条性质，下节课将主练指数函数综合题型。

如果非要从这些性质中找出一条最重要的，我认为是单调性，指数函数的单调性最大的作用是解不等式，在各种练习和测试中，你会面对很多解指数不等式的题目或者步骤。

像如下这样的题目，一定要做到很熟练，这是基本功，只有练好了这样的不等式，你的指数函数才能算得上入门了。

顺便提一下指数函数和幂函数的区别：

指数函数的自变量x位于指数位置；幂函数的自变量位于底数位置。

第1题

这是一个复合函数，求复合函数的值域，分两步，第一步：求内层函数的值域，即求u的取值范围；第二步：根据u的取值范围，求外层函数的值域；外层函数的值域就是复合函数的值域。

题中的内层函数的图像是初中学过的双曲线；外层函数是一个指数函数。根据它们的图像很容易就可以由它们的定义域求出它们的值域。

上面的解法明显繁琐，对指数函数的性质熟练后，我希望你可以这么解：

第2题

虽然函数f(x)是一个复合函数，但是熟练后，我们不需要每次都列出内层函数和外层函数，使用下面的方法求值域更快更好，请练熟这种解法。

蓝框中的过程是帮助分析的，在实际解题中，完全可以跳过这一步骤。

第3题

解析过程如下：

第4题

求值域，实际上就是求最值，可以通过求闭区间上的最值，来求开区间上的值域。过程如下。

第5题

先化简函数的表达式，再根据函数的单调性求值域。

第6题

做这样的题目，最直观的方法就是画出函数的示意图。

函数①是偶函数，它的图像关于y轴对称，所以只需画出x≥0时的图像，再关于y轴对称一下就可以了。

函数①的图像向右平移1个单位就得到了函数②的图像。

实际上，根本不需要画出函数②的图像。函数①的单调递减区间为(－∞,0]，这个区间向右平移1个单位就得到了函数②的单调递减区间(－∞,1].

第7题

换元法。解题思路：先求出最大值，然后令其等于14，解方程即可求出a的值。

因为指数函数的底数a＞1和＜1时，t的取值范围不同，所以要分两种情况进行讨论：

第二种情况：

第8题

明显可以看出函数f(x)是一个偶函数，偶函数的图像关于y轴对称，则本题只需求出当x≥0时不等式的解集，则这个解集关于y轴对称的解集和这个解集的并集就是不等式的解集。

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