高考数学：一种方法证明各种点线共面问题，高中数学立体几何

“一种方法可以证明几乎所有的点线共面问题”，我添加了“几乎”这两个字，实际上我是不愿意添加的，因为在高中阶段，这种方法确实可以证明所有的点线共面问题。

但是想到世上没有“绝对”的事物，为了不被“打脸”，还是加上为好。

在讲这个证明方法之前，先了解了解要用到的有关知识点。

最重要的是公理2及其三个推论：

公理2：

经过不在同一条直线上的三点，可以确定一个平面。

推论一：

经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面。

推论二：

经过两条相交直线，可以确定一个平面。

推论三：

经过两条平行直线，可以确定一个平面。

其它公理和定理：

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

经过一点有且只有一个平面垂直于已知直线；经过一点有且只有一个平面平行于已知平面；等等一切有关“有且只有一个平面”的定理。

列举出所有有用的知识点是不可能的，上面这些定理公理是最常使用到的，实际上，如果仅仅应付高考的话，掌握上面这些已经足够了。

上面的“确定”意思是“有且只有”。学好立体几何，理解“有且只有”是必须的。

有且只有的意思：

例如，已知A、B、C三点不共线，如果平面α和平面β都经过这三点，根据公理2“经过不共线的三点有且只有一个平面”，那么平面α和平面β是同一个平面。

下面正式给出证明点线共面问题的通用方法，确切的说，这是一个通用的证明思路，按照这个思路，“几乎”可以解决所有的此类题目，还是把“几乎”加上吧。

这个证明方法的内容看着较多，实际上很简单，别被一大堆文字吓退了。

你也许看得不太懂，没关系，先大略看一遍，然后看后面的练习，看完练习再回头看这些方法，立刻就懂了。

证明几点共面的通用步骤：

第一步：观察这些点位于哪两条平行线上，或者位于哪两条相交直线上，然后根据推论二或者推论三即可得到它们共面。如果观察不出来，就进行第二步：

第二步：先使用公理2和三个推论得到一部分点在一个平面内，即先确定一部分点在一个平面内。

例如，题中A、B、C三点不共线，根据公理2，这三个点就确定了一个平面；再如，题中A、B、C、D四个点正好位于两条平行线上，根据推论三，这四个点就确定了一个平面。

这些点确定了一个平面后，再证明其它的点也在这个平面内，证明其它点也在这个平面内有两种方法，如下：

第三步：方法一是使用公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；例如：要证P点在平面α内，只需证P点所在的直线MN在平面α内即可。

方法二：第二步已经确定了一些点在一个平面内，现在再确定另一些点在另一个平面内，但要确保这两个平面都经过如“不共线的三点”、“两条平行直线”等等，这样根据公理2及其推论就可以说明这两个平面是同一个平面，那么这两个平面内的点都位于同一个平面内。

例如：发现A、B、C、D四点共面，又发现B、C、D、E四点共面，并且B、C、D三点不共线，两个平面都经过不共线的三点B、C、D，根据公理2，这两个平面是同一个平面，则A、B、C、D、E五点共面。

说明两个平面是同一个平面，除了公理2和三个推论，还有其他一些定理，前面已经给出了一些，这些定理同样可以使用。

以上就是证明点共面的通用方法。

学会了如何证明点共面，还要学习如何证明点不共面。

如何证明几个点不共面：

通常使用假设法，先假设这几个点共面，然后根据题意推导出与已知或者课本上的定理相矛盾的结论，这样就说明假设不成立，即几个点不共面。

第1题

第（1）问简单，证明MN//AC即可。

和第(1)问不同的是，第(2)问观察不出四点连线是否平行或者是否相交，这种情况常采用的方法是：先假设四点共线，如果推出矛盾，则说明假设不成立。

第2题

本题的证明思路常常用于要证明共面的点比较多的情况，请认真体会。

第3题

证明过程如下：

第4题

过程如下：

第5题

证明过程如下：

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