立体几何垂直专题20讲（一），孙老师精编高中数学系列课程

有学生说，他的空间想象能力比较差，一遇到立体几何题目就不知道从哪儿下手。

这节课，孙老师将教你一种方法，按照这种方法去做，你的空间想象能力立刻就可以得到大幅度的提升，以后遇到任何有关垂直的问题，你都可以迅速地找到解题的思路。

这个方法非常简单，先把下面有关垂直的三类知识点记忆下来，越熟练越好；然后学习后面的20道专题，边学习边思考每道题目使用了哪些知识点。

只要你按要求做了，我保证，从此以后你甚至不用过多分析，只靠观察就可以顺利做出各种难度的垂直题目。

试试吧！

证明直线与直线垂直：

1、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。这是证明直线与直线垂直最常用的方法。

2、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

3、三垂线定理及其逆定理。

4、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长是一组勾股数，则这个三角形是一个直角三角形。

5、等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的中线、顶角角平分线和底边上的高是同一条线段。

6、菱形对角线互相垂直。

7、矩形的相邻两边垂直。

8、全等或相似三角形中的垂直；具体内容见专题。

证明直线与平面垂直：

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

3、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

4、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面。

证明平面与平面垂直：

1、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。

2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的两个面所在的平面互相垂直。

3、直棱柱的底面垂直于侧面。

把它们整理好，放在你的脑海中，你会发现，不知道为何，所有的题目都变简单了。

温馨提醒：凡是使用三垂线定理或其逆定理证明直线与直线垂直，都可以换成使用直线与平面垂直的性质证明直线与直线垂直，如果你没有学过三垂线定理，请使用线面垂直的性质证明直线与直线垂直。

专题练习第一部分

第1题

要证CD⊥EF，只需证CD垂直于过EF的一个平面。作CD的中点G的原因是CD⊥FG，那么CD肯定垂直于平面EFG，则只需证明CD垂直平面EFG就可以了。

第2题

作BC的中点F，是因为BC1垂直EF，则BC1肯定垂直平面AEF，然后证线面垂直即可。

第3题

当题中出现等腰三角形时，不要忘了使用三线合一证垂直。

第4题

AB⊥AD，CD⊥BD在折叠后仍然成立。

第5题

平面PAC和平面ADE的交线是AE，已知PC垂直这条交线，则PC肯定垂直于平面ADE，则只需证明PC⊥平面ADE。

第6题

万事开头难，只要能观察出AE⊥平面SBC，那么你离成功做出本题就不远了。

第7题

已知中BC1垂直DC1，要证的是BC1垂直AC1，所以BC1肯定垂直平面DAC1。

第8题

解析：

第9题

练习垂直问题的最佳题目之一。

第10题

等腰三角形三线合一的应用。

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