常见求单位向量的题型有以下几种:1、求已知向量方向上的单位向量;2、求与已知向量平行的单位向量;3、求与已知向量垂直的单位向量;4、求与已知向量夹角为某度的单位向量。下面针对这4种题型分别给出具体的解法。
第01题:如何求一个已知向量方向上的单位向量。
向量a方向上的单位向量等于向量a除以自己的模。所以先求出向量a的模,再用向量a的坐标除以a的模“根号5”。注:实数和向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的积。
第02题:求与一个向量平行的单位向量。
与一个非零向量平行的单位向量有两个,一个与自己方向相同,另一个与自己方向相反,这两个单位向量是相反向量,故只需先求出a方向上的单位向量,这个单位向量以及其相反向量就是向量b。
也就是说,第01题求得的单位向量和其相反向量就是本题中要求的向量b。
第03题:求与一个向量垂直的单位向量。
求与一个向量垂直的单位向量相对要困难一些,下面给出的过程是通用过程,对任意非零向量都适用:
首先设出向量b=(x,y),x、y共两个参数需要求出来,所以要列两个等式;首先b是单位向量,故模等于1,以此可以列一个等式,如下①式;其次根据向量a和b垂直,可得a和b的数量积等于0,可以列出第二个等式,如下②式;最后①式和②式联立解方程组,即可求出x和y的值。
第04题:求与一个向量夹角为某度数的单位向量。
这和上题垂直问题类似:首先设出向量b=(x,y),需要列两个等式;首先b是单位向量,故模等于1,以此可以列出一个等式;其次根据向量a和b的夹角等于60度,由向量的数量积公式可以列出第二个等式;最后解方程组即可。
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