高考数学：这个绝对值函数有没有极小值？

要回答这个问题，就要找到评判的标准——函数极值的定义。

从图象中明显看出，在x=0附近都有f(x)>f(0).根据定义，函数y=|x|在x=0处取得极小值f(0)。

所以，用图象法来判断极值其实是最靠谱的。

本题可否使用导数法来判断极值呢？

答案是：不可以。

因为函数y=|x|在x=0处不可导。

我写过函数的连续与可导，其中谈到函数（首先是连续）可导的条件是：左导数=右导数。

而对于这个绝对值函数y=|x|，左导数=-1；右导数=1，它们不相等。所以，函数y=|x|在x=0处不可导。

既然不可导，当然也不可能求出该点的导数值了。

但是不可导的点也可能是极值点。

中学教材里的题目，多数以可导函数为素材.所以，用导数法求极值是我们最通行的做法.

但是，对于可导函数f(x)，即使在某点处f'(x)=0，该点也可能不是极值点.比如f(x)=x^3，满足f'(0)=0，但0不是该函数的极值点。

注意1：对于可导函数f(x)，f'(x0)=0是函数f(x)在点x0处取得极值的必要不充分条件。

上面所举的三次函数的例子就是证明。

注意2：对于可导函数f(x)，f'(x0)=0，且在x0左侧与右侧，f'(x)的符号相反是函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件。

所以，我们在求出导函数的零点之后，一定要判断在该零点的左右两侧，导函数的符号是否发生改变。

其实，图象法比较直观，所以图象法判断极值的方法适应面非常广。

只不过因为不可导函数不能用导数法，就只能依靠图象法了.

不可导点可能是极值点，也可能不是极值点。

比如下面两个例子：

y=|x|在x=0处不可导，但x=0是极小值点；

y=x|x|在x=0处不可导，在x=0处也取不到极值。

注意3：不可导点可能是极值点，也可能不是极值点。

注意4：对于可导未知的函数f(x)，f'(x0)=0是函数f(x)在点x0处取得极值的既不充分也不必要条件。