不请自来，我是数学漫谈——专注数学教育，传播数学文化，下面谈谈我的认识。
函数是我们接触很早的一个概念，初中阶段我们开始接触函数的概念，从一次函数到反比例函数再到二次函数，到了高中阶段我们学习指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数。可以说在中学阶段我们一直在和函数打交道。
大学阶段的高等数学或数学分析，研究对象就是函数，还有复变函数、实变函数、泛函分析等等。总之一句话如果你一直学习数学的话，你会发现函数是陪伴你最长的概念。
那到底函数的本质是什么？其实函数的概念并非生来就有，也并非一成不变的，对于函数的本质，不同的历史阶段有不同的认知。人们对函数的认知从最早的变量说、发展为对应说，再到后来的关系说，最后推广到集合范畴。
古罗马数学家丢番图在《算术》中引入了变量的概念，这是函数概念的萌芽。
函数概念的真正发展是16世纪以后，尤其是微积分的创立，极大的促进了函数概念的产生、发展和完善。
17世纪伽利略的著作《两门新科学》中包含了变量或函数的概念，不过他是用文字和比例的语言来表达的，没有明确的提到函数的概念。
在此之后，解析几何之父——笛卡尔在研究中发现了两个变量之间存在相互依赖的关系，最先提出了“变量”的概念。
1665年，牛顿提出了“流数术”，他用“流量”一词描述变量之间的依赖关系。
1673年，数学符号大师——莱布尼茨首次提出了“函数”这一术语，用函数描述随着曲线上的点变化的量。不过最早英文中的“function”并不解释为函数的意思，而是“功能”，除此之外，他还引进了'变量'、'常量'、“参变量”等概念，这些名词一直沿用至今。
以上都是在几何范围内给出的变量之间的依存关系，牛顿和莱布尼茨虽然创立了微积分，但没有给出函数的解析定义。17世纪末以前，人们还没有从普遍意义上认识到函数的本质。
微积分的创立极大的促进了函数概念的发展，在前人的基础上，1718年，约翰.贝努利对函数概念进行了明确定义，把常数和变量x按任何方式构成的量称为'x的函数'。
18世纪中叶，欧拉给出了函数的符号f(x)，并提出了函数的解析表达式，他认为：“一个变量的函数是由这个变量和常数以任意方式组成的解析表达式”，他还规定了函数在给定的函数的“定义域”内由同一个解析表达式来表示，这标志着函数概念由几何形态转向代数形态。这和我们初等函数的概念已经很接近了。
函数的概念还在不断的完善和发展，1800年前后，数学分析的严密化对函数概念提出了更高的要求。
1822年，傅里叶发现有些函数可以用曲线表示，也可用一个式子或多个式子来表示，他的发现推动了函数概念又一次发展，结束了函数概念是否用唯一式子表示的争论。
1823年，柯西从定义变量角度给出了函数的概念，并给出了变量和自变量的定义，他认为无穷级数是定义函数的有效方法，但函数不一定有解析表达式。
1837年，狄利克雷给出了函数的定义：“若多x的每一个值，有晚去确定的y 值与之对应，则不管对应方式如何，都成为y对x的函数”。狄利克雷给出的函数定义已经和我们现在教科书中的定义很吻合了。
康托尔创立了集合论，人们把函数的定义域由数推广到集合上。
1887年，戴德金给出了系统S上的一个映射蕴含了一个规则，依此规则，S中的每一个元素都对应着一个确定的对象，S称为映像。这是函数概念的扩充。
随后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义：
“若在变量y的集合与另一个变量x的集合之间，有这样关系成立，即对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数。”
他把函数的定义域、值域及对应法则进一步具体化。
1939年法国的布尔巴基学派给出完善的现代函数的定义：
“设Ｅ和Ｆ是两个集合,它们可以不同也可以相同。Ｅ中的一个变元x和Ｆ中的变元y之间的一个关系称为一个函数，如果每一个x∈Ｅ,都存在唯一的y ∈Ｆ，它满足x的给定关系。”
结合以上函数概念发展的历程，我们不难看出，随着科学的不断进步，函数的概念也在不断完善，目前中学和高等数学上的函数是基于实数范围内的，可以理解为：对于任意一个非空集合的自变量x，通过对应法则f，都能找到唯一确定的y与之对应，那么y是关于x的函数。但除了实数范围内的函数，我们还有复变函数（复数范围内的）、实变函数、泛函分析、点集拓扑等和函数有关的学科。
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