线性代数2

全国2009年10月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

 

说明：在本卷中，A^T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.已知行列式 =0，则数a =（    ）

A.-3                                                                B.-2

C.2                                                                 D.3

2.下列矩阵中不是初等矩阵的为（    ）

A.                                                 B.

C.                                                  D.

3.已知2阶矩阵A = 的行列式|A|=-1，则（A*）^-1=（    ）

A.                                                B.

C.                                                D.

4.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=E，则C ^-1=（    ）

A.AB                                                              B.BA

C.A^-1B^-1                                                          D.B^-1A^-1

5.设A为2阶矩阵，若|3A|=3，则|2A|=（    ）

A.                                                                B.1

C.                                                                D.2

6.向量组 ， ，…， （s≥2）的秩不为零的充分必要条件是（    ）

A. ， ，…， 中没有线性相关的部分组

B. ， ，…， 中至少有一个非零向量

C. ， ，…， 全是非零向量               

D. ， ，…， 全是零向量

7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（    ）

A.r（A）=n                                                    B.r（A）=m

C.r（A）<n                                                    D.r（A）<m

8.已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（    ）

A.A                                                                B.E-A

C.-E-A                                                            D.2E-A

9.设矩阵A= ，则二次型x^TAx的规范形为（    ）

A.                                               B.

C.                                                D.

10.4元二次型f（x₁,x₂,x₃,x₄）=2x₁x₂+2x₁x₄+2x₂x₃+2x₃x₄的秩为（    ）

A.1                                                                 B.2

C.3                                                                 D.4

 

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.已知行列式 =1,则 =______________.

12已知矩阵方程XA=B，其中A= ，B= ，则X=___________.

13.已知矩阵A=（1，2，-1），B=（2，-1，1），且C=A^TB，则C²=__________.

14.设矩阵A= ，则 =_____________.

15.设向量组 =（1，0，0）^T， =（0，1，0）^T，且 ，则向量组

的秩为____________.

16.已知向量组 =（1，2，3，）^T， =（2，2，2）^T, =（3，2，a）^T线性相关，则数a=________.

17.已知向量 =（3，k,2）^T与 =（1，1，k）^T正交，则数k=_______.

18.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为 ，若该方程组无解，则a的取值为_________.

19.已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=_______.

20.已知3元二次型f（x₁,x₂,x₃）=（1-a） + +（a+3） 正定，则数a的最大取值范围是_______.

 

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算行列式D= 的值.

22.设矩阵A= ，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，求|B|.

23.已知线性方程互组

（1）讨论当a为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解；

（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.

24.设向量组 =（1，4，1，0）^T， =（2，1，-1，-3）^T， =（1，0，-3，-1）^T，

=（0，2，-6，3）^T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.

25.已知矩阵A= 与B= 相似，求数a,b的值.

26.已知二次型f（x₁,x₂,x₃）=2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，求一正交变换x=Py,将此二次型化为标准形.

 

四、证明题（本大题6分）

27.设矩阵A满足A²=E，且A的特征值全为1，证明A=E.