线性代数3

全国2009年7月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

 

试卷说明：在本卷中，A^T表示矩阵A的转置矩阵；A^*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A，B，C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（　　　）

A．（A+B）^T=A^T+B^T                                         B．|AB|=|A||B|

C．A（B+C）=BA+CA                                     D．（AB）^T=B^TA^T

2．已知 =3，那么 =（　　　）

A．-24                                                             B．-12

C．-6                                                              D．12

3．若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（　　　）

A．A= A^*                                                   B．|A|=0

C．（A²）^-1=（A^-1）²                                        D．（3A）^-1=3A^-1

4．若A= ，B= ，C= ，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（　　　）

A．ABC                                                           B．AC^TB^T

C．CBA                                                           D．C^TB^TA^T

5．设有向量组A： ，其中 ₁， ₂， ₃线性无关，则（　　　）

A． ₁， ₃线性无关                                      B． ₁， ₂， ₃， ₄线性无关

C． ₁， ₂， ₃， ₄线性相关                      D． ₂， ₃， ₄线性无关

6．若四阶方阵的秩为3，则（　　　）

A．A为可逆阵                                                B．齐次方程组Ax=0有非零解

C．齐次方程组Ax=0只有零解                         D．非齐次方程组Ax=b必有解

7．已知方阵A与对角阵B= 相似，则A²=（　　　）

A．-64E                                                          B．-E

C．4E                                                             D．64E

8．下列矩阵是正交矩阵的是（　　　）

A．                                              B．

C．                                        D．

9．二次型f=x^TAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（　　　）

A．A可逆                                                       B．|A|>0

C．A的特征值之和大于0                                D．A的特征值全部大于0

10．设矩阵A= 正定，则（　　　）

A．k＞0                                                          B．k≥0

C．k＞1                                                          D．k≥1

 

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．设A=（1，3，-1），B=（2，1），则A^TB=__________.

12．若 =0，则k=__________.

13．若ad≠bc，A= ，则A^-1=__________.

14．已知A²-2A-8E=0，则（A+E）^-1=__________.

15．向量组α₁=（1，1，0，2），α₂=（1，0，1，0），α₃=（0，1，-1，2）的秩为__________.

16．两个向量α=（a,1,-1）和β=（b,-2,2）线性相关的充要条件是__________.

17．方程组 的基础解系为__________.

18．向量α=（3，2，t,1）β=(t,-1,2,1)正交，则t=__________.

19．若矩阵A= 与矩阵B= 相似，则x=__________.

20．二次型f(x₁,x₂,x₃)= 对应的对称矩阵是__________.

 

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算三阶行列式 .

22．已知A= ，B= ，C= ，D= ，矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X.

23．设向量组为α₁=（2，0，-1，3）

α₂=（3，-2，1，-1）

α₃=（-5，6，-5，9）

α₄=（4，-4，3，-5）

求向量组的秩，并给出一个最大线性无关组.

24．求λ取何值时，齐次方程组

有非零解？并在有非零解时求出方程组的结构式通解.

25．设矩阵A= ，求矩阵A的全部特征值和特征向量.

26．用正交变换化二次型f(x₁,x₂,x₃)= 为标准形，并求所用的正交矩阵P.

 

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．若n阶方阵A的各列元素之和均为2，证明n维向量x=(1,1,…,1)^T为A^T的特征向量，并且相应的特征值为2.