中考数学：第23题分析

矩形折叠问题

【题目】在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．

（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；

（2）如图2，①求证：BP=BF；

②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；

③当BP=9时，求BE·EF的值．

【答案】

解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

在△ABE和△DCE中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AE=DE，

∴△ABE≌△DCE（SAS）；

备注：SAS全等。

（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，

∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，

∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，

∵BE⊥CG，

∴BE∥PG，

∴∠GPF=∠PFB，

∴∠BPF=∠BFP，

∴BP=BF；

备注：等角对等边。本题的难点在于转化，∠G与∠CEF都是90°，易得平行线，把∠BPF与∠BFP转化为一对同位角即可。

②当AD=25时，

∵∠BEC=90°，

∴∠AEB+∠CED=90°，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠CED=∠ABE，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴AB/AE=DE/CD，

设AE=x，

∴DE=25﹣x，

∴12/x=(25-x)/12，

∴x=9或x=16，

∵AE＜DE，

∴AE=9，DE=16，

∴CE=20，BE=15，

由折叠得，BP=PG，

∴BP=BF=PG，

∵BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP，

∴EF/PG=CE/CG，

设BP=BF=PG=y，

∴(15-y)/y=20/25，

∴y=25/3，

∴BP=25/3，

在Rt△PBC中，PC=(25√10)/3，cos∠PCB=BC/PC=(3√10)/10；

备注：求cos，则必须找到合适的直角三角形。由于矩形的边长已知，根据相似可以得出大量线段的长度，由于①中已经提示证明BP=BF了，只要利用这个条件易得想要的结论。

二次相似，不容易想到。

③如图，连接FG，

∵∠GEF=∠BAE=90°，

∵BF∥PG，BF=PG，

∴▱BPGF是菱形，

∴BP∥GF，

∴∠GFE=∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴EF/GF=AB/BE，

∴BE·EF=AB·GF=12×9=108．

备注：折叠易得等腰三角形及菱形等特殊的图形，连接GF易得四边形BPGF为菱形。

求线段乘积的关键在于找对应的三角形相似，本题的难点在于找到合适的三角形相似。