此题要证明线段乘积式, 学生知道要用三角形相似, 但辅助线太难画

朋友们，大家好！这段时间天气越来越冷了，大家都要注意保暖，别着凉感冒了哦！数学世界今天继续和大家分享初中数学几何证明题。一些朋友留言，希望猫哥多讲一些初中的数学题，那么我就满足他们的要求，这段时间持续为朋友们分享初中数学题吧。请朋友们先尝试自己做一做，再看解析过程，相信大家一定会有收获！

例题：（初中数学几何题）如图所示，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线与AD交于E，与AC交于F。求证：BE·EF=2AE·DE．

这道几何证明题有一定难度，此题的考查知识点就是相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形等知识。我们在做此题时，要认真观察图形，分析题中给出的条件，根据需要证明的结论找出解题线索。此题的已知条件比较多，有两个垂直就可以形成几个直角三角形，还有一条角平分线，所以我们要充分利用这些条件。

解决此题的关键是证明△AEF是等腰三角形，从而找到线段之间2倍的关系，再作出恰当的辅助线，利用三角形相似找到比例关系。下面，猫哥就与大家一起来解决这道例题吧！

证明：∵AD⊥BC于点D，

∴∠BDE=90°，

∵BF平分∠ABC，

∴∠DBE=∠ABF，

∵∠BAF=90°=∠BDE，∠DBE=∠ABF，

∴∠BED=∠BFA，（根据三角形的内角和）

又∵∠BED=∠AEF，

∴∠AEF=∠EFA，

∴△AEF是等腰三角形．

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作AG⊥EF于点G，则EG=1/2EF，

∵∠AGE=∠BDE=90°，∠AEG=∠BED，

∴△AGE∽△BDE，

∴AE/BE=EG/ED，

即BE·EG=AE·DE，

而EG=1/2EF，

∴BE·1/2EF=AE·DE，

∴BE·EF=2AE·DE．（证毕）