初中数学会接触到相对较难的一块就是几何,上学的时候就常听大人们说“几何几何,想破脑壳”。其实如果感兴趣,勤动脑筋,你也会觉得几何非常有意思的。好了,闲话少叙,下面给大家分享一个几何题的解决方法,欢迎大家讨论和指点:
这道几何题选自于2013年全国初中数学联赛(初三组)的初赛试题。下面我来讲讲题目的分析,思路和如何做辅助线,最终完成证明。
首先题目条件非常简洁,圆内四边形,CB=CD。然后求证等式,等式中含有平方关系和线长乘积。
感觉可能会用上等弧等角,还有相似三角形。题目中提到线段CA,所以很自然做辅助线CA。
根据等弧等角定理,得到∠BAC=∠DAC。同时由AB*AD的描述,联想到如何将两个线段放在一边上。可以制造全等三角形来实现:
AD上截取AE线段,使之与AB相等(假设AD>AB),第二条辅助线自然出来了:连接CE。通过边角边很容易证明 △ABC和△AEC全等。
接下来一步非常关键,其实也不难,仍然是截长补短,让CA2 -CB2变成具体的线段。其实有两种方案,我首先想到的是通过勾股定理,但是没有好的构造方法。之后采用了第二种方法,截长补短:
CA线段和其延长线上分别取CG=CF=CB。同时最后两条辅助线都呼之欲出了,连接GE和FD。那么CA2 -CB2变成了AG*AF。
这样求证命题变成了,如何证明AG*AF=AE*AD。很容易联想到相似三角形,有朋友们一眼就看出来了,其实就是证明△AGE和△ADF相似。间接证明∠AGE=∠ADF。这就容易了,因为我们知道点G,E,D,F都是在已C为圆心,CB为半径的圆(称为圆O2)上。所以∠AGE就是圆O2中四边形GEDF的外角,外角等于内对角。这个可以通过等弧等角定理证明,我就不详述了。
好了,今天的几何证明题就分享到这里了。如果大家有好的解法和意见,欢迎讨论。下次再聊吧。
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