三角函数正弦函数的定义
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定义一:正弦(sine),数学术语,在直角三角形中,任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA(由英语sine一词简写得来),即sinA=∠A的对边/斜边。
突然发现,这个定义是有问题的。这个定义非常直观,适合入门,但问题是只能将角的取值范围定义为0°到90°之间,而且不包括0°和90°。这个定义不支持自变量的取值范围:
另一个高级的定义:在直角坐标系中,给定单位圆,对任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数,记作v=sinα。
这个定义就没有上述限制了。
三角函数对照表
以前是没有计算器或其他任何电子计算工具,当时人们是计算三角函数值时,常常采用三角函数对照表。
三角函数对照表
但三角函数对照表是近似值,在一些计算精度要求很高的场景,可能并不能满足要求。
三角函数的解析值含义
以正弦函数值求法为例,因为求得正弦函数值,就不难求出其他三角函数的解析值。这里的解析值是指精确解(如
从下文可以看出,1°到90°的三角函数(如正弦函数值)都有解析解,都可以通过正整数的加减乘除、开根号(二次根号、三次根号等)、负号等构成的表达式表示,是精确值,而非三角函数表中的近似值。
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根据三角函数的诱导公式,就不难求出91°-360°角的三角函数解析值。
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0°-90°的三角函数解析值求法
根据正弦函数的定义,不难得到:
道生无,无即0。“道”(Tao)即前面的关于正弦函数的定义。
我们就从0出发给出所有1°到89°的正弦函数的解析值(注意是精确的解析值,而非小数的近似值)的求法。
∵
∴
根据正弦函数半角公式,得出:
根据正弦函数的三倍角公式得到:
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15°角的三角函数值有其他求法,如
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根据正弦函数的三倍角公式得到:
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下面求18°角的三角函数值,做如下等腰三角形
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设
故
∵
∴
∴
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- ,是一个非常复杂的复数表示的实数。
道家:无生有!
只要算出了
- (一生二)
- ,这个值与的值有密切的关系。
#
类似的当
结论
1°、2°、3°、4°、5°、6°、7°、8°、9°、10°、
11°、12°、13°、14°、15°、16°、17°、18°、19°、20°、
21°、22°、23°、24°、25°、26°、27°、28°、29°、30°、
31°、32°、33°、34°、35°、36°、37°、38°、39°、40°、
41°、42°、43°、44°、45°的正弦函数值都是有精确解
求得精确值后,在实际工程应用中,可以根据具体场景需要,计算到任意精度。
当然,人类的计算手段越来越丰富,实际工程中,多半会采用三角函数的泰勒级数展开,如
正弦函数的连分数表示:
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这两个公式中的自变量
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