图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”.(1)
(2015春·姜堰市期中)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”.
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式(不需写出证明过程);
(3)根据你得到的关系式求f(n)的表达式.
【专题】综合题;推理和证明.
【分析】(1)由题意,可以求出f(5);
(2)考查相邻两项的关系可得出f(n+1)-f(n)=4n;
(3)由累加法可求得f(n)=2n2-2n+1,由此可求出答案.
【解答】解:(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25+4×4=41.…(4分)
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.…(10分)
(3)∵f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1),
∴f(n)-f(1)=4[1+2++(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n,…(14分)
∴f(n)=2n2-2n+1(n≥2),
∵f(1)=1也满足上式,∴f(n)=2n2-2n+1. …(16分)
【点评】本题考查归纳推理,解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式,再由累加法得出项的表达式,本题考查了分析归纳的能力,属于中档题.
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