无理数是实数中的一部分，也被称为无限不循环小数，无法转换成两个整数之比。按照字面意思，很多人会将其中的“理”理解成“道理”，所谓无理数，便是没有道理的数，不讲道理的数。
这么理解倒不能说错，但在数学中，“理”的意思是比，无理数是不能比的数，也就是不能转换成整数之比的数。在日常生活中，在早期的文明中，有理数就已经够用了，但随着文明的进展，无论是东西方，都会面临无理数这一个概念。和负数的被接受概念一样，东方人在接受无理数的时候，并没有太大的心理排斥，而在西方，西方人从认识到接受无理数，也经历了一番曲折的道路，甚至还在古希腊世界中引发了一起“无理数杀人案件”。在古希腊，毕达哥拉斯学派可谓是研究数学的扛把子，将其称为数学中的战斗机学派也不为过。在今天的人看来，毕达哥拉斯是一个很古怪的人，他相信“灵魂说”，甚至认为灵魂会转世，比如有一次他看到一个人在打一条狗，他立即上去制止了这种虐狗行为，并说：“请停下来，我从这条狗的叫声中听出了我以前一个朋友的声音。”毕达哥拉斯似乎天生就是一个爱流浪的人，他出生于希腊的萨摩斯岛，位于爱琴海上，这里距离米利都仅有一箭之遥。我们有理由相信，毕达哥拉斯在自己的家乡度过了他的童年。家乡的人都比较保守，信奉一种奥菲教的教义，这是一种古老的宗教，还残有很多迷信的味道。有传言称，毕达哥拉斯是阿波罗的儿子，据说他的大腿是金子，闪闪发光，而且他是一个素食主义者，不吃肉。我们现在知道毕达哥拉斯的大名，源于他在数学上的贡献，可是在当时来讲，他的名声主要来源于他是一个传奇人物，是大仙级别的。长大后，毕达哥拉斯前往米利都留学，米利都生活着哲学之王泰勒斯，但泰勒斯以自己年龄太大为由，拒绝收毕达哥拉斯为徒，可能是泰勒斯觉得，自己还不配给大仙当老师。后来毕达哥拉斯前往埃及，在那里呆了数十年之久，在那里学习古埃及人的数学。在埃及逗留期间，恰逢波斯入侵，波斯人看着这个外乡人-希腊人，倒也没有为难他，而是将他抓到了巴比伦。自此之后，毕达哥拉斯又在巴比伦逗留了近五年。幸运的是，毕达哥拉斯的身体还不错，这一路上的辗转并没有让他一命呜呼。有传言说他还到达过今天的印度和英国，但对此我们只有保持沉默，因为我们也无法确定其真伪。在当时的世界来讲，古埃及和古巴比伦在数学上的造诣已远超周边的地区，古埃及人和古代中国人一样，侧重于实用数学，他们学习数学一般都是为了实际的用途，比如造金字塔，一位英国史学家说：“埃及是一个建筑的民族。”而古巴比伦相对来讲就抽象了一些，希腊的十二黄道宫最早就来源于巴比伦，巴比伦人喜欢仰望星空，他们的数学中一些思辨的影子。在外面晃悠了小半辈子，当毕达哥拉斯学成归来回到家乡后，本以为自己会成为全村最靓的仔，毕竟自己算是在古埃及和古巴比伦都混过，相当于今天混完牛津又混哈佛。可没想到，家乡人太保守了，接受不了毕达哥拉斯的那一套，甚至还有人将他当成了疯子。这真可谓是“少小离家老大回，乡音无改鬓毛衰。儿童相见不相识，笑问疯子何处来？”也有可能，是毕达哥拉斯的希腊语中夹杂了埃及口音和巴比伦口音，让家乡人接受不了。不过据说在家乡，毕达哥拉斯有了他的第一个学生，历史学家认为毕达哥拉斯的第一个学生也叫毕达哥拉斯，简称小毕，可能是毕达哥拉斯的一个亲戚，也有可能是毕达哥拉斯的小号。有意思的是，小毕是毕达哥拉斯自己花钱买来的。一般是老师给学生上课，然后学生付钱给老师，而毕达哥拉斯则是反过来的，他不仅要给学生上课，上完课之后还要付钱给学生，据说一节课要付给小毕3个银币。这么上了一段时期后，毕达哥拉斯注意到，小毕已经将学习从外驱动转到了内驱动，于是他说自己已经没钱支付学费了，因此课程只能停止。而小毕竟然表示，学习使我快乐，我热爱学习，不给我钱也无所谓。可是，除了小毕之外，毕达哥拉斯就算是花钱也买不到任何学生了。万般无奈之下，毕达哥拉斯再一次离开了家乡，前往意大利半岛南部的移民城市克罗内托。移民城市，相对来讲更开放一些，也更容易接受一些新奇的观念与想法。或许，此时此刻的毕达哥拉斯心中想的，是此地不留爷，自有留爷处，正如那直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。到了新的家园后，毕达哥拉斯开始有了自己的追随者，不再是之前那种花钱买流量的人了，于是他一改往日的阴郁，在当地落户安家，并建立了属于自己的学派“毕达哥拉斯学派”。这是一个类似兄弟会的组织，内部讲究平等，还吸收了不少女学生，毕达哥拉斯的老婆就是这些女学员中的一位转换过来的。毕达哥拉斯的数学倾向于古巴比伦人的抽象，似乎他不愿回想起在埃及的那十年岁月，他一点都不实际。比如在他的哲学中，他认为“形式”比“质料”更重要，而且人都是先认识“形式”而后再认识“质料”的。这什么意思呢？就比如集合与个体，我这个人，我是一个个体，而人类则是一个抽象的名词概念。举个例子，我走在大街上，可能我今天碰到的人，我一个也不认识，之前没见过，但我不需要怀疑，在我用余光瞥一眼他们的同时，我就能知道，他们是人类中的一员。可奇怪的是，我之前就没见过他们，也没有人告诉我，他们是和我一样的人类。这是因为，关于“人类”这个抽象名词的概念，我已经认识了，这就是“形式”。毕达哥拉斯可能是古希腊世界中第一个系统地研究“数”的人，当泰勒斯认为，这个世界由水构成的时候，这位曾经被泰勒斯拒之门外的毕达哥拉斯，俨然唱起了不同的论调，他认为，这个世界是由数构成的。他意识到从音乐的和声到行星的轨道，一切事物中皆藏有数。比如，他认为，数字是万物之灵，“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性的结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。毕达哥拉斯搞的这个兄弟会，非常神秘，外面的人几乎都不知道里面的人都在干啥，而且内部证明的数学题都是保密的，很显然，这是一个偏向于宗教的一个组织。内部的成员有很多禁忌，比如不能吃豆子，睡醒之后要叠好被子，人是神的财产，因此人不能放纵欲望，也不能自杀等等。最重要的是，要想成为毕达哥拉斯的学生，是一件很痛苦的事，因为五年之内不能说话，要保持沉默，专心听课，因此，毕达哥拉斯的学生中几乎没有话痨，话痨也不可能成为他的学生。话痨也容易说漏嘴，泄露组织的秘密，将毕氏定理一不小心告诉给了外面的人，就不好了。（毕氏定理=勾股定理）毕氏定理是毕达哥拉斯一生中最重要的成就，他在逻辑上证明了直角三角形的一个永恒不变的性质，即“直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方之和”，这适用于一切的直角三角形，当然，是在平面几何内。这并不是来自于简简单单的归纳，而是演绎，因此可以从个别推及整体。与中国的勾股定理相比，他有完整的证明过程。毕达哥拉斯自己也为发现的这个定理而兴奋，以致于他破戒了，要知道，他以前一直都是一个素食主义者。在毕氏定理诞生后，他举办了一次盛大的百牛大祭，杀了一百头牛用来祭祀，仪式完成后还来了一场热热闹闹的“获奖感言”，他没有感谢CCTV，而是感谢了缪斯女神。一般而言，宗教组织都有崇拜的神，而毕达哥拉斯的兄弟会不崇拜宙斯，也不崇拜上帝，而是崇拜数。他们相信，通过了解数与数之间的关系，他们能够揭示宇宙的神圣秘密，使他们自己更接近神。毕达哥拉斯相信，这个世界是讲理的，他们研究数与数之间的关系，认为世间所有的数都可以转换成两个整数之比，这些数被称为“有理数”。那么这个世界上有没有不讲道理的数呢？有！就是无理数。举个例子，比如0.38，它可以转换成38:100,0.345是整数345和整数1000之比，它们都是有理数。而无理数就不行，比如π，比如根号二。兄弟会里面有一个学生叫希帕索斯，他就提出了，比如一个边长为1的正方形，它的对角线长是多少呢？现在我们可以非常方便地计算出它的数值，是根号二，可在当时来讲，并没有根号二的概念，也没有无理数的概念。希帕索斯的这一疑问，无疑是给毕达哥拉斯的世界观造成了剧烈的冲击，也引爆了数学史上的第一次危机。于是，天真的希帕索斯被兄弟会的人给扔进海里淹死了。毕达哥拉斯用这种“掩耳盗铃”、“自欺欺人”的办法来解决了那个挑战有理数世界的挑战者。不过据说这位学生是因为泄露了组织的秘密，因此在毕达哥拉斯死后才被成员扔进海里淹死的。不管怎么说，因为根号二这个奇怪的数字出现，在古希腊引发了一场不小的危机。首先，根号二为何是一个无理数，它能被证明是一个无理数吗？（根号二是后来人的叫法，当时的人只是认识到了这个奇怪的数）其实是可以的，我们用反证法就能证明。根据对数的定义，有理数可以转换成两个整数之比，而无理数不行，因此，我们先假定，根号二是有理数，是可以转换成两个整数之比的，我们令根号2=p/q（其中，p/q是已经约分了的数，意思就是，这个分数已经是最简化的了，无法再约分）接着，我们在等式两边开个平方，即可以转换成2=p²/q²我们仔细观察一下这个等式，等式的右边是一个偶数，因为等式左边无论是什么数，都有一个乘积因子是2，因此我们不难得出，“p²”是一个偶数，再进一步也可以推出“p”是一个偶数。我们再令p=2m，等式就可以转换成，（2m）²=2q²，展开来，得4m²=2q²，两边同时除以“2”，得2m²=q²，我们不难发现，等式右边是一个偶数，即q也是一个偶数。既然q与p都是偶数，那么它们至少有一个公约数是2，因此p/q就不是最简化的分数，是可以再约分的，这与之前的条件“p/q是已经约分了的数”相矛盾，因此前提假设“根号二是一个有理数”是错的。我们回头来看毕达哥拉斯，由于无理数的出现，几近摧毁了毕达哥拉斯建立的数字大厦，因此导致很长一段时间，人们都像避瘟疫一样将无理数视而不见，甚至将其当成荒谬的存在。大概两百年后，古希腊世界又蹦出了一个数学家，叫欧多克索斯，虽然曾在柏拉图学院中学习过，但他无比贫穷，他在数学上的贡献便是构建了一个比例的世界。虽然他的著作大都已经失传，但我们可以从古希腊数学的集大成者《几何原本》中回溯他的理论，因为这本书保留了欧多克索斯的比例理论。通过欧多克索斯的比例理论，为无理数提供了逻辑基础。与负数相比，后来的欧洲人在接受无理数的时候更快了一些。众所周知，西方人在数学上很认死理，如果一个数在逻辑上说不通，那么就很难被广泛接受。相比于负数，欧多克索斯在公元前的世界就已经给无理数提供了逻辑基础，因此这也导致无理数在欧洲在15,16世纪的时候就已被广泛接受。不过，在很长的一段时间里，还是有许多人对其持保留意见。比如帕斯卡就认为，像这样的数只能作为几何上的量来理解。也就是说，它能被用来计算，但仅仅只是一个记号。甚至就连牛顿也保持这种观念。这种情况一直持续到19世纪下半叶，当时的欧洲数学家重新建构了数学大厦，对所有的数学领域都进行了公理化的奠基之作，无理数的地位才算是真正被确立下来。在中国，无理数出现地也比较早，《九章算术》中就已经提到了“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”。这句话的意思是说，如果碰上开方开不尽的，就是不可开，当以面命之。由于古代汉语中的字词经常具有模糊性，有很多种解释，因此如何理解“当以面命之”，也并非是唯一的。有些学者认为，面就是边，意思是说，如果遇到开方开不尽的数，我们可以取一个分数，以面作为分母以其根命名一个分数。在刘徽之前，人们在处理这些数的时候，大都取一个平方根的近似值，可以用公式来表示：x=根号（a²+r）=a+a/r，如果我们要求根号2，可以通过公式求出近似值：因此，刘徽在做注的时候指出，用这种办法是极不准确的。他在前人的基础上，提供了更为精准的求近似值的办法，由此提出了十进制的数学理念，因此大部分主流学者认为，刘徽对我国成为世界上最早使用小数的国家，做出了巨大的贡献。我们通过他留下来的注，也可以发现，在他求近似值的方法中，有极限论的思想。当然，还有另一些学者认为，“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”，这句话的意思是说，如果我们碰上了开方开不尽的数，我们可以将其命名为“面”，这实际上就是关于什么是无理数的定义。根据这派学者的说法，这句话就可以变成“若开之不尽者，为不可开，当以无理数命之”。对于无理数，我们中国古人并没有过多的纠结，既然有这种数，那就接受这种数，并想方设法不断逼近它的近似值。在《九章算术》中，除了开平方开不尽的无理数，还有对开立方中不可开的问题也有同样的认识，我们的古人一并接受。我国古代对无理数的引入，实际上也是出于实用角度的考量，在这点上，我们不像西方人那么执拗，非得要在逻辑上先证明这种数是可行的才去接受。我们的古人很少纠结无理数究竟是什么玩意，它到底是不是数。这也是中国与西方对数学理解上的区别，东方人重实用，西方人重逻辑。这或许也是为什么中国的古代数学，一直没有建立起公理化的数学大厦的最重要的原因吧。
本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请
点击举报。
