蝴蝶定理
例一
1、已知:如图,O为平行四边形ABCD中心,DF⊥AC于F,CE⊥BD于E,EF交AB于G。
求证:GO⊥AD
(高中联赛难度几何100题之74,田开斌题)
思路分析:显然CDEF共圆,圆心J为CD中点,从而需证GO⊥JO,这显然是蝴蝶定理之逆,延长GO交DC于K,则OG=OK,从而得证
证明:设GO交CD于K,由对称性知OG=OK;
设J为CD中点,由垂直得CDFE共圆,且圆心J为BC中点,
由蝴蝶定理逆定理即知JO⊥OG,
又由中位线定理得OJ//AD,
故GO⊥AD。
注:本题证明方法比较多。除了上述蝴蝶定理方法以外,还可以用根轴(田开斌老师的解答就是利用根轴解决的)。当然还可以使用其他计算方法等。不过如果能想到蝴蝶定理,本题能迅速得到解决。
例二
已知:如图,△ABC中,D为BC中点,以AD为直径的圆交AB、AC于E、F。
此圆在E、F处切线交于G。
求证:GD⊥BC
思路分析1:类似蝴蝶定理证法2,过G作两边垂线,由垂直得共圆倒角得相似,为了利用垂直,采用同一法。
证明1:根据图形的唯一性,我们证明其逆命题,即由GD⊥BC证明BD=CD,
设GH⊥AB于H,GI⊥AC于I,
由切线知∠HEG=∠EDA,∠IFG=∠FDA,
又GE=GF,故HF:ED=GE:AD=GF:AD=IF:DF,
故∠EDH=∠FDI。
由垂直得BHDG,GICD共圆,又GH//DE,GI//DF,
则∠DBG=∠GHD=∠HDE=∠FDI=∠DIG=∠DCG,
故GB=GC,DB=DC,证毕。
思路分析2:看到平分和垂直想到蝴蝶定理。
E、F在以G为圆心的圆上,由切线倒角得到IGJ共线,
由垂直得直径与共圆,
利用蝴蝶定理逆定理即得。
证明2:如图,显然GE=GF,
设以G为圆心GE为半径的圆交射线AB、AC于I、J,
由GE为圆的切线得∠EIG=∠IEG=∠AFE=∠EIJ,
故IGJ共线。
又∠AED=90°,则E,D,J共线,
同理F,D,I共线。
又DB=DC,
由蝴蝶定理逆定理知GD⊥BC。
注:1)证法1相当于证明了本题的逆命题,本题的证明严格上可以这样叙述:
设过E的圆的切线交过D的BC的垂线于G',G'F'为圆的另一个切线,
AF'交BD于C',由证法1知DB=DC',从而C,C'重合,即原结论成立。
2)证法2将其巧妙转化为蝴蝶定理,不过还要由切线证明三点共线,才能完成证明。本证法最终图形与《蝴蝶定理之八》的第1题殊途同归。将其对照会有更多收获。这也算是本题的一种本质。
3)本题有很多解法,叶中豪老师得到不少解法,也对其做过很多推广。不过一言以蔽之:蝴蝶定理算是本题的一种本质认识。
例三
如图,已知△ABC旁切圆I切三边于D,E,F,EF交ID于H,AH交BC于M。
求证:MB=MC,
(1991年四川省竞赛题)
思路分析1:类似于切割线蝴蝶定理证法1,过H作BC平行线,得到共圆倒角即可。
证明1:设过H的BC平行线交AB,AC于J,K,
由垂直得IJFH,IHKE共圆,
故∠IJH=∠IFH=∠IEH=∠IKH,
故IJ=IK,HJ=HK,
由JK//BC,从而MB=MC。
思路2:利用正弦定理或分角定理以FH:HE为媒介进行计算即可。
证明2:设△ABC三个角为A,B,C,
由垂直得BFID,DIEC共圆,
故∠FID=∠B,∠DIE=∠C,
△IFE中,由正弦定理得:
FH:HE=sin∠FID:sin∠DIE=sinB:sinC,
△AFE中,由正弦定理得:
sinB:sinC=FH:HE=sin∠FAH:sin∠HAE,
△ABC中,由正弦定理得:
BM:CM=ABsin∠FAH:(ACsin∠HAE)
=(sinC:sinB)*(sin∠FAH:sin∠HAE)=1,
即MB=MC。
注:1)解法1通过精妙的平移转化,轻松倒角得证。其思路和《蝴蝶定理之四》第1题的最经典的证法1异曲同工。也与上题的思路1如出一辙。
2)证法2没有添加辅助线,只是通过简单三角计算即得,也不失为一种合理的证法,值得体会学习。
3)本题很经典,解法也很巧妙简洁,人见人爱,花见花开。我们在鸡爪定理里面反复强调,每一个内心具有的性质旁心都有。不难想象,本结论对内切圆也是成立的,这正是2010年北方竞赛的第6题,如下图所示。证明当然也是如出一辙。
例4、已知:如图,△ABC中,D、K分别为BC、AD中点,E、F为D
AB、AC上垂足,
KE,KF交BC于M,N。O、O'为△EMD、△FND外心。
求证:OO'//BC
(2017年东南数学奥林匹克竞赛第2题)
思路分析:设圆O、O'交于D、G。若OO'//BC则GD⊥BC,GE⊥ME,GF⊥FN,则本题
化为第2题,下面只需考虑如何转化即可。想到第2题证法2,利用其辅助线及蝴蝶定理即可证明。
证明:如图,设DE交AF于L,DF交AE于J,LJ中点为G,
由垂直得JEFL、AEDF共圆,
则∠GEJ=∠GJE=∠AFE=∠ADE=∠KED
则GE⊥KE,同理GF⊥KF。
由DB=DC,根据蝴蝶定理逆定理知GD⊥BC。
故MEDG,NFDG共圆,
故O、O'为MG、NG中点,
则OO'//BC
注:本题证法比较多,上述证法是本人联系到第2题得到的。这也说明本题的本质是蝴蝶定理,算是第2题的进一步加深。
联系客服