振动、有的有利，有的有害。人们广泛地应用着有利的振动。日常生活中，人们须臾不可离开的各种计时装置利用着振动，通讯、电视以及发电等是电磁振动在不同领域中的具体体现。中学物理教科书上常举的共振筛、理发推以及播种机是机械振动的应用。振动的有害方面也不少。人们需要安静的工作环境时（如进行精密的天平测量时）周围街道上的车辆移动甚至都会成为一种干扰。在工厂的生产中，不利振动更是多见。例如大型化工厂的空气压缩机一般都安装在钢结构的厂房里。当卧式活塞空气压缩机运转时，活塞作水平方向的往复运动。活塞来回运动一次，机器和厂房构成的整个系统的质心也相应地在水平方向来回运动一次，这导致厂房自身的质心在水平方向作相应的往复运动。同样地，机器竖直方向的往复运动，也会导致与其固连的厂房相应的上下振动。如果厂房设计得不合理，或者在合理设计的厂房内随便变更空气压缩机的转速，都有可能导致厂房的振动加剧，甚至发生受迫振动下的共振，使厂房形变过大发生损坏甚至坍塌。此外，还有有害的自激共振现象。风吹过烟囱或桥梁，在适当的风速和建筑物尺寸下，就会发生破坏性的自激共振。1953年在美国有一只直径为5 m、高约90 m的焊接烟囱，在风速约为16 m/s的强风持续吹动下，以每秒一次的固有频率发生自激共振。共振后不久，就使烟囱发生挠曲，并且在钢制烟囱上开了个大裂缝。对于有害的振动，根据其发生机理，可以加装特定的隔振装置或采取防振措施加以抑制或消除。
说到振动，就要谈到波。粗略地说，波就是振动的传播。实际上，人们能够感知振动的存在，总是离不开振动的某种传播过程。机械波是机械振动在弹性介质中的传播过程。人类最早认识和研究的波恐怕就是机械波中的声波了。无线电波、X射线以及光是电磁振动的传播，不过这种传播已经不再需要借助任何介质来实现，它可以在真空中传播。都是振动的传播，声波和电磁波传播的机理不同，前者是弹性介质中质元受到因应变产生的应力的驱动，把介质中的局部形变（即振动）传播开来；而后者基于电磁感应现象，把电路中局部范围内的电或磁的振动散播开去。
波动的利用同样相当广泛。各种无线电通讯、光测量、音乐欣赏以及超声波诊断或探伤，比比皆是。不必要的波动干扰，例如空中杂散电波对于各种电子设备的影响，可以采用吸收或屏蔽的方法加以降低或消除。现代隐形飞机采用的隐形技术之一就是在飞机外附加一层特别材料，它对雷达波段的无线电波有强烈吸收作用而极少反射，从而使隐形飞机在接收雷达反射波的屏幕上图象变模糊，甚至消失。高级音乐厅的墙壁上或空中，往往设置足够面积的吸声板，用以控制乐声在空中的抑扬时间（交混回响时间），提高音响质量。
在振动问题中，人们最早着力研究小幅度振动，并利用得出的微振动理论，认清了不少规则振动的规律。例如，对弹簧下悬重物的运动、小角度的单摆或物理摆的摆动以及广阔水面上漂浮物的上下振动等现象的动力学研究，可以得到相同形式的微分方程
，
并把它称为ξ随时间作简谐运动的定义。随着科学研究的深入，人们又认识到还有许多其它形式的振动。例如，从能量转化与守恒的观点出发，认识了阻尼振动、受迫振动，它们与简谐运动既有区别，又有联系。到20世纪30年代，对机械振动的研究开始由线性系统向非线性系统发展。所谓非线性系统，是指该系统的动力学方程中有非线性项。例如自激振动、参数振动都属于非线性振动。特别是近30年对于非线性系统的研究，揭示了许多以前未曾认识的事物，如混沌现象。本来人们一直以为，由确定性规律制约的振动系统，未来的情况总是可以准确予言而不存在任何随机性结论的。例如，牛顿运动定律是个二阶常微分方程，它的解可以通过两个初始条件完全确定。现在认识到，如果有非线性项出现在依照牛顿定律确定的方程里，尽管方程中没有任何随机因素，也可能会表现出方程解的不确定现象，人们称之为混沌现象。这使得人们对于规则振动的含义以及牛顿定律本身有了更深刻的认识。此外，人们还认识到，自然界和工程中还存在着另一类振动──随机振动，它是真正的不规律振动，不同于混沌性振动。随机振动本身遵守的动力学方程中就含有随机项，例如，海浪对舰船的冲击、路面起伏不平引起的汽车颠簸以及地震激励对建筑物的影响等，都作为随机性激励出现在振动系统的动力学方程之中。尽管这些新型振动与简谐运动全然不同，都仍然可以借助描述简谐运动的一些概念，来进行一些特定的分析，这主要得益于数学上著名的傅里叶定理。例如，频率的概念标志着信号变化的快慢。信号如果含有高频成份，就说明它有很快的变化；如果还有些低频成份，就意味着其中仍有慢变的内容。对于周期性振动，可以利用傅里叶级数把它分解成频率分立的简谐运动的叠加，这充分体现了简谐运动的基础地位。对于非周期性振动，则可以傅里叶积分进行分析。如对随机振动，则可以通过自相关函数的傅里叶变换引入频率而得到频域信息。
涉及波动过程的研究，同样适用傅里叶展开定理，只不过变成了多重傅里叶展开，其中平面简谐波起着与简谐运动同样的基础作用。
在20世纪两项最伟大的物理成就，相对论和量子力学中，波的概念有着基础性地位。广义相对论，作为一种与狭义相对论相协调的一种最为成功的引力论，预言自然界会有引力波存在。引力波是强度极弱的横波。探测引力波是件极其困难的事情，例如，探测装置应能测量出1 m长的铝棒在引力波作用下发生的10-18 m的形变，此形变仅相当于铝原子核直径的千分之一，更不用说这种微弱的引力波信号还必然淹没在诸如热噪声等背景之中。尽管目前尚缺乏证实引力波存在的直接证据，若干印证引力波存在的间接证据已经取得。近代物理中的另一重大成就是量子力学的建立。在量子力学中，用所谓波函数描述粒子分布的概率，波函数的传播，对应着粒子分布概率的运动。不过，这种用波函数描述的所谓物质波或德·布洛意波的波动过程，已经不再是某种物质振动的传播，它只是描述微观粒子行为中非粒子性侧面的手段。
此外，在非线性系统中，除了可能存在混沌现象之外，还可能有非线性波动。波动的非线性机制和色散项的综合作用，可以呈现行进中的单个脉冲即所谓孤波，相碰后仍不变形的孤波称为孤子。20世纪60年代以来，关于孤子的研究有了巨大进展。孤子解普遍存在于粒子物理、等离子体物理、超导理论以及非线性光学等许多学科之中，它也被利用在光纤通讯等现代技术领域里。可以说，关于机械振动和机械波的知识，仍然是进一步认识物理世界的必要基础。 在多数经典力学的教材中，振动和波动通常放在最后的章节进行讲授，有的教材甚至把这部分内容推迟到学习电磁波或光学之前再行介绍。这样安排的原因之一，恐怕是这部分知识的学习需要用到牛顿力学知识的诸多方面，如动量定理和动能定理等。这两种运动过程本身具有一定程度的复杂性和实用性，因而也使学生感到难以掌握。 就振动而言，判断一种振动过程是否是简谐运动，必须用动力学方法进行分析，列出牛顿力学方程，辨认合力（矩）是否是线性恢复力（矩）。这种辨认通常是学习中的难点。又如，坐标原点的平移──静平衡位置的改变，并不影响物体的加速度，对于不熟悉加速度导数定义的中学生来讲，这种结论也显得陌生，更不用说如何正确地忽略高级小量，判断微振动下是否符合简谐运动要求了。此外，必须应用两个初始条件来确定简谐运动的运动学方程，对学生也是头一次见面。余弦或正弦式振动并非都是简谐运动，这一点也常被混淆，它涉及对振动的全面认识和正确分类。或许可以说，理解了振动和波动，是学生真正学会从动力学（微分）方程来认识一个系统力学性质的开始。在近代物理中起重要作用的相位概念，也是在振动和波动中应该学习的。因而，振动和波动知识的学习，在整个物理学的学习过程中，起着承上启下的枢纽作用。 从难度上讲，解决有关振动的问题，对学生综合运用已学过物理知识的能力也有着相当的要求。以下两个时常引起学生疑惑的问题或许可以说明我们的想法。 〔例1〕如果已知以下命题：同时参与两个正交方向上、振幅分别为A和B、频率相同的简谐运动的质点，其运动轨迹通常为一个长、短半轴分别为A、B的椭圆。现在欲知，是否任何一个椭圆轨道运动，都可以看成两个正交方向、同频率简谐运动的合成？ 学生往往给出肯定的回答，而肯定性的回答是需要证明的。给不出证明时，往往把必要性与充分性混同起来。对这个问题的答案，应该是否定的。否定一个命题，只要举出一个反例就可以了。中学生知道椭圆运动的唯一例子，就是遵从开普勒第一定律的行星轨道运动。行星运动以太阳为焦点，如图1-1，并且还应遵守开普勒第二定律。第二定律要求“太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积，即vB｜FB｜=vA｜FA｜。既然｜FA｜≠｜FB｜，可知vA≠vB。所以行星在y方向两次通过y=0位置的速度值并不相同，因而在y方向不可能视为单一频率的简谐运动。实际上，可以分解为两个正交方向简谐运动合成的椭圆运动，其力心应该在轨道中心O点，而不在焦点F处。这种问题显然要求学生具有力学知识的综合运用能力。 下面一个例题是一道中学生竞赛题。 〔例2〕一列火车以惯性向前运动，爬上与水平面有α倾角的平直小山坡，图1-2。当列车最后停住时，已有一半车厢爬上了山坡。设列车长度为l，不计摩擦阻力，求列车爬上山坡总共需用多少时间。 一般学生对此题会感到困难，因为这是一个变加速运动问题。直接求时间，需用积分，并不容易。如果先应用动量定理于短暂的时间间隔Δt内，易于得出影响列车动量大小的外力冲量为 - 其中m代表质量均匀分布的列车质量，x为某时刻列车已爬上山坡部分的长度，上式可以改写成 只要令Δt→0，上式就变成简谐运动的动力学方程的标准形式。这说明，已爬上山坡的列车长度x随时间变化的规律与简谐运动相同，x＝0相当于平衡位置。列车从开始爬坡到完全停下来，相当于在简谐运动中的物体从平衡位置到最大位移，所以需用时间为固有振动周期的四分之一，即T/4。从上式看出，对应简谐运动的圆频率为 ω= 所以，所求时间为T/4= 在这个问题中，“列车最后停住时，已有一半车厢爬上了山坡”的条件，容易使人误入歧途。其实它的作用不过是保证列车在停止上行之前，沿斜坡方向所受合外力始终可表示为 xmgsin α/l，而这正好提供了简谐运动要求的正比于x的线性恢复力。 另外一种求解这个问题的方法来自机械能守恒的表达式。设列车爬坡前的速度为v0，爬上坡部分长为x时的速度为v，取代（1-1）式有系统的机械能守恒，即 此式右边用到斜坡的平直性。把上式改写成 依据 本书试图扩展一下中学物理教学中的知识范围，并对一些在教学中可能会遇到的有关问题的处理提供一些帮助。在允许的地方，尽量给出可以适应中学教学的讲法，但是仍难免用到一些高等数学中不太繁难的知识。振动和波动涉及多方面力学知识 mgsin αΔt＝mΔv，（1-1）。，。（1-2）。，由简谐运动的能量特征（见（4-4）式）可以断言，在x≤v0/ω范围内，x值随时间的变化为简谐运动，其中ω为振动的固有频率ω=。x的取值范围由题目所给“火车最后停住时，已有一半车厢爬上了山坡”的条件予以保证，而不会出现列车全部冲上山坡的情况。
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