几何图形的综合探究——等边三角形类型

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【等边三角形类型[2018年沈阳16题]】

综合考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理及旋转六法；拓展思维很重要。

【原题再现】

【思维教练】你还记得这道题吗，我们一起再研究。通过绕着等边三角形的三个顶点顺时针或着逆时针旋转60°，可以把已知共顶点的三条不等线段集中到一个三角形中。共有六种旋转方法，称为旋转六法。

方法一：将△ABH绕着点B顺时针旋转60°得到△ABH'，在Rt△ACH中，借助勾股定理可解得a的值，△CHH'是一个含30°的直角三角形，然后由△BDH和△CDH'相似，且相似比为1:3，可解DH；

方法二：将△ABH绕着点A逆时针旋转60°得到△ACH'，在Rt△ABE中，借助勾股定理可解得a的值，△CHH'是一个含30°的直角三角形，然后由△BDH和△BCH'相似，且相似比为1:3，可解DH；

方法三：将△BHC绕着点B逆时针旋转60°得到△BH'A，在Rt△ACH中，借助勾股定理可解得a的值，△AHH'是一个含30°的直角三角形，其中点D、H、E、C四点共圆，△CDE也是一个含30°的直角三角形，可证CD=2BD，然后由△BDH和△ADB相似，可解DH；

方法四：将△BHC绕着点C顺时针旋转60°得到△AH'C，在Rt△ACH中，借助勾股定理可解得a的值，△AHH'是一个含30°的直角三角形，然后构造△BDH和△ABE相似，且相似比为1:3，可解DH；

方法五：将△ACH绕着点A顺时针旋转60°得到△ABH'，在Rt△ACH中，借助勾股定理可解得a的值，△BHH'是一个含30°的直角三角形，剩下部分同上，可解DH；

方法六：将△ACH绕着点C逆时针旋转60°得到△BCH'，在Rt△ACH中，借助勾股定理可解得a的值，△BHH'是一个含30°的直角三角形，剩余部分同前，可解DH；

通过上面六种旋转，都可以把问题集中在同一个含30°的直角三角形中，当然，本题除上述旋转六法外，还可以用其他方法来解决，如果有更好的方法欢迎私信小编共同交流。

部分问题详细解析如下：

加油吧！少年的你！