一、反比例函数的基本性质
1、反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；
2、k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况；
3、双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y=x及y=-x.
4、反比例函数y=k/x中| k |的几何意义是：
| k |等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线的矩形的面积。
二、反比例函数的基本模型
模型一、对称性
结论：
∵正比例、反比例函数的图象都是关于原点成中心对称图形，
∴①OA=OB，OC=OD；
②四边形ACBD是平行四边形；
模型二：双曲矩形
结论：1、不论P在双曲线上何处，
2、当OA在x轴上平移时，
同理：当OB在y轴上平移时，
等底同高可证，证明略
模型三：双曲三角形
结论：
1、不论P在双曲线上何处，
2、不论O'在y轴上何处，
同底等高可证，证明略
模型四：等分面积
结论：
3、若Q为AB中点，则P也必为BC中点。
由2可得，证明略
模型五：三角转梯形
结论：
模型六：斜向平行线
结论：过双曲线上任意两点P、Q分别作PC⊥y轴于C，QA⊥x轴于A，连结AC，则PQ∥AC
模型七：等长线段
结论：过双曲线上任意两点P、Q作直线PQ分别交x轴、y轴于点M、N，
则PN=QM
模型八：等角1——平四型
结论：P、Q在双曲线上，A、B分别在y轴和x轴上，若四边形ABQP为平行四边形，
则∠1=∠2，∠3=∠4
证明：过P作DE⊥y轴于E过Q作DC⊥x轴于C交DE于D，延长PQ交x轴、y轴于M、N
由模型七得
∵ABQP为平行四边形
∴PQ∥AB，AP∥BQ，PQ=AB，AP=BQ
∴∠2=∠6=∠EPA
∵∠PEA=∠BCQ=90°
∴△PEA≌△BCQ（AAS）∴PE=BC=a，
∵OM=a b，OC=b，∴CM=OM-OC=a
∴BC=CM
∴△QCB≌△QCM，∴∠2=∠5，
又∵∠1=∠5，∴∠1=∠2
同理可证∠3=∠4
模型九：等角2——对称型
结论：正比例函数图象与双曲线交于Q、R两点，
则∠1=∠2，∠3=∠4
证明：作P点关于点O对称点S，
连SR,SP,SQ
易证四边形PQSQ为平行四边形
由模型八可知∠2=∠5，
又∵PR∥QS，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2
∵∠2 ∠4=90°，∠3 ∠1=90°
∴∠3=∠4
模型十：等腰黄金比
结论：P、Q都在双曲线上，OP=PQ，OP⊥PQ，
证明：过P作BC⊥y轴于C，过Q作BA⊥x轴于A交BC于B
∵P（a，b）∴PC=a，OC=b
∵OP=PQ，OP⊥PQ，
∴∠CPO ∠COP= 90°，
∠CPO ∠BPQ=90°
∴∠COP=∠BPQ
∵∠OCP=∠PBQ，∴△OCP≌△PBQ
∴PC=BQ=a，OC=PB=b
∴B（a b，b-a），Q（a b，b-a）
连AC，由模型六可知，PQ∥AC
模型十一：平行黄金比
结论：P在双曲线上，过P作PA⊥x轴于A，
过A作AQ∥OP交双曲线于Q.
证明：过P作BC⊥y轴于C,过Q作BD⊥x轴于D,交BC于B
由AQ∥OP易证△OAP≌△ADQ
文章来源：数学新讲堂，作者：New Math Forum；如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误，请联系微信alarmact处理
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