一道等边三角形证明题的思考

原题重现

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等边三角形ABC，D为BC边上一点，BE∥AC,∠AED=60°，探索BD、BE、BC之间的关系

1、如图一，若D在BC上，求证：BD+BE=BC.

2、如图二，若点D在BC的延长线上，BD、BE、BC之间存在怎样的关系？给出结论并加以证明。

条件分析

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1、求证：BD+BE=BC，看到这样的线段和差模型，通常采用截长或者补短的方法.

2、△ABC为等边三角形，有条件∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，特别的在图二中有∠ACD=60°.

3、BE∥AC，在图一中有∠EBC+∠C=180°，易有∠EBD=60°，则∠EBA=60°：在图二中有∠ACB=∠CBE=60°.

4、关键是∠AED=60°怎么用？这是本题解题关键，详见解析过程

5、根据（1）问的结论，猜测图二的情况为：BD-CD=BC

解析过程

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1、证明如下：

∵△ABC为等边三角形

∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC

∵BE∥AC

∴∠EBC+∠C=180°，

∴∠EBC=120°，易有∠EBD=60°

在△AMD与△EMD中：

∵∠ADM=∠EBA=60°.∠AMD=∠EMB(对顶角）

∴∠BED=∠DAB

如图延长EB至点F，使BF=BD,连接DF，FC

∵∠EBC=120°

∴∠DBF=60°

又∵BD=BF

∴△BDF为等边三角形

∴BD=DF=BF,∠BDF=∠DFB=∠FBD=60°

由手拉手模型易有：

△ABD≌△CBF(SAS)

∴∠BAD=∠BCF

∴△EDF≌△CFB（ASA)

∴EF=CB,即EB+BF=CB

∴EB+BD=CB

2、猜测线段BD、CD、BC之间的关系为：BD-BE=BC，证明如下：

∵BE∥AC

∴∠ACB=∠CBE=60°

延长BE至点F,使BF=BD

则：△BFD为等边三角形

∴BF=BD=DF,∠FBD=∠BDF=∠DFB=60°

∵∠ABE=∠ABD+∠BDE=60°

∠BDF=∠FDE+∠BDE=60°

∴∠ABD=∠FDE

∴△ABD≌△EFD（ASA)

∴AD=ED

连接AE,则有△AED为等边三角形

由手拉手模型易有：

△ABE≌△ACD(ASA)

∴BE=CD

∴BD=BC+CD

即：BD=BC+BE

总结

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当满足△ABC等边三角形，D为BC边上一点，BE∥AC,∠AED=60°这些条件时，有如下结论

1、当D在BC上时有：BD+BE=BC

2、当D在BC延长线上时：BD-BE=BC

3、△AED始终是等边三角形