高中数学 | 解析几何中线段和差的最值问题

从初中就遇到将军饮马问题，到高中遇到椭圆、双曲线、抛物线的线段和问题。解析几何中线段和最小问题，总是和“两点之间线段最短”，“点到直线距离是垂线段的长度”与对称和圆锥曲线的定义相关。

题型一 直线的线段和最小问题

题型二圆锥曲线中的线段和差问题

小结

我们可以看到，线段和最短问题，如果能将两个点放到曲线的两侧，问题就会变得很简单。所以，我们思考的重点就变成了如何将其中一个点转移过去。但问题往往不会这么简单，比如椭圆。椭圆作为一个封闭的图形，两个焦点都在椭圆的同一侧，那在同一侧能解决什么问题？是不是还有一个线段差的最值问题。

同侧虽然求线段和不行，但求线段差却很容易。所以，你遇到的求线段差的问题时，两点一定在曲线的两侧；求线段和的问题时，两点一定在曲线的同侧，就是要你去变一下！

那么到椭圆里又会如何呢？

总结：当我们要求线段和的最小值问题的时候，想办法把已知的两个点，由同侧变换为异侧；如果要求线段差的最值的问题时，我们要把在异侧的两个点变换到同一侧。至于怎么变换才能保持它们相互的关联，我们只要根据具体曲线的相关性质来处理就可以了。