初中数学 | 一线三等角

一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。一线三垂直就是特殊的一线三等角，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，不同学校对此有不同的称呼。

一线三等角起源

三垂直全等模型是初中几何证明及计算中的一种重要模型，三垂直模型与弦图是紧密相关的，首先我们需要了解清楚两个弦图：外弦图及内弦图。

演变为：三垂直＋“一组边相等”三角形全等（利用垂直以及两角互余）

一线三等角的分类

全等篇：

相似篇：

一线三等角的变式

其中第4个图，延长DC会更好理解，相当于两侧型的。

不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来解题。

一线三等角的应用

1.“一线三等角”应用的三种情况：
①图形中已存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

②图形中已存在“一线二等角”，构造一个等角，应用模型解题；

③图形中只在直线上存在一个角，构造二个等角，应用模型解题（该情况较多，尤其是压轴题，经常会有一个特殊角或知道角三角函数值时，经常构造“一线三等角”来解题）。

2.构造一线三等角的步骤：①找角；②定线；③构造相似

3.“一线三等角”在几何中的应用

【例1】如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5，求BC的长。