趣味几何｜见圆就是缘

（重庆南开中学初2018级九下半期考试数学18题）

如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF，若OE=2倍根号3，DF=1，则△ABC的周长为       .

分析：因为BC与OE互相垂直且平分，所以连接OB、OC、BE、CE，则四边形OBEC为菱形。

根据圆周角定理，可设角度如上图所示。

在RT△ODB中，易求α=30°。

所以∠BAC=60°。因为OE=2倍根号3，所以OD=ED=根号3，所以BD=CD=3.

根据∠BAE=∠CAE=30°，且CF⊥AE，故而延长CF与AB相交于点G，则△AGC为等边三角形。

且易证F为CG的中点，所以DF为△CBG的一条中位线，所以BG=2DF=2

作CH⊥AB于点H，设未知数如图所示

所以C△ABC=8+4x，只需解出x，这个题则可求出答案。

在RT△BHC中，由勾股定理可求得x

C△ABC=6+2倍根号33