趣味几何｜巧用勾股定理判定直角的五种方法

在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．证垂直的常用方法：

(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；

(2)等腰三角形中“三线合一”；

(3)勾股定理的逆定理．

今天主要讨论利用勾股定理判定直角的5种方法.

方法1：利用三边的数量关系说明直角

例题：

考点：勾股定理、勾股定理的逆定理

分析：根据题目已知条件，设出正方形的边长，从而可得BE、CE、CF、DF的长度，利用勾股定理可求出AF²、EF²、AE²，再根据勾股定理的逆定理判断∠AFE是否是直角.

解答：

点评：此题主要考察了勾股定理与勾股定理逆定理的应用：在直角三角形中，已知两边长可利用勾股定理求第三边长；已知三边长，也可根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.

方法2：利用转化为三角形法构造直角三角形

例题：

考点：勾股定理、勾股定理的逆定理

分析：连接AC，在Rt△ACB中，根据勾股定理求出AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ACD为直角三角形，然后根据S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD列式计算即可.

解答：

点评：本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，把四边形ABCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点.

方法3：利用倍长中线法构造直角三角形

例题：

考点：倍长中线、勾股定理的逆定理

分析：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE.可证△ADC≌△EDB，得BE=13，AE=12，AB=5，根据勾股定理的逆定理，可得∠BAE=90°.

解答：

点评：利用倍长中线构造全等三角形得到线段相等，把已知的三边长转化到同一三角形中，再利用勾股定理的逆定理证明直角.

方法4：利用化分散为集中法构造直角三角形

例题：

考点：全等三角形的性质和判定、勾股定理

分析：把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的a、x、b转化到△DNB中，只需判定△DNB的形状即可．

解答：

点评：本题难度较大，根据等腰三角形内角含半角模型将△ACM进行旋转，再利用全等三角形的性质和判定，将已知三边转化到同一三角形中去，才能判断以这三边为边长的三角形的形状.

方法5：利用“三线合一”法构造直角三角形

例题：

考点：全等三角形的性质和判定、勾股定理

分析：连接CD，根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根据“ASA”可判断△CMD≌△BDN，则CM=BN.

解答：

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，能推出△CMD≌△BND是解此题的关键.