心中有数｜如何在平面直角坐标系中求对称点的坐标

同学们在平时做题或考试的过程中， 常常会遇到在平面直角坐标系中求对称点的坐标，那么我们在解题过程中，该如何快、狠、准的求出坐标呢？

下面，将分类进行探讨：

一、求点关于点的对称点坐标；

二、求点关于坐标轴（或平行于坐标轴）的对称点坐标；

三、求点关于一次函数的对称点坐标。

一、点关于点的对称

实质：该点是两对称点连线段的中点。

方法：利用中点坐标公式。

说明：

（1）点P(a,b)关于点A(x,y)的对称点的坐标为P’(2x-a,2y-b)；

（2）点P(a,b) 关于原点O(0,0)的对称点P’(-a,-b)，特点为：x、y均互为相反数。

  

二、点关于坐标轴（平行于坐标轴）对称

实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线

（一）关于x轴对称

1.关于x轴对称

一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A’（a,-b），特点为：x不变，y互为相反数。

2.关于平行于x轴的直线对称

一个点A（a,b）关于直线y=m对称的点的坐标为A’（a,2m-b），特点为：x不变，y相加等于2m。

例：A（-3,5）关于x轴对称的点的坐标为A’（____,____）.

解：点A、A’关于x轴对称

∴横坐标不变，纵坐标互为相反数

∴A’（-3，-5）

例：A（-3,5）关于直线y=1对称的点的坐标为A’（____,____）.

解：点A、A’关于直线y=1对称

∴横坐标不变，纵坐标相加等于2

∴A’（-3，-3）

（二）关于y轴对称

1.关于y轴对称

一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A’（-a,b），特点为：y不变，x互为相反数。

2.关于平行于y轴的直线对称

一个点A（a,b）关于直线x=m对称的点的坐标为A’（2m-a,b），特点为：y不变，x相加等于2m。

例：A（-3,5）关于y轴对称的点的坐标为A’（____,____）.

解：点A、A’关于y轴对称

∴纵坐标不变，横坐标互为相反数

∴A’（3，5）

例：A（-3,5）关于x=1对称的点的坐标为A’（____,____）.

解：点A、A’关于直线x=1对称

∴纵坐标不变，横坐标相加等于2

∴A’（5，-3）

三、关于一次函数y=kx+b对称

已知点A坐标与直线解析式，求点A关于直线对称的点A’的坐标。

1.解析式法

（1）两直线垂直，k1·k2=-1

（2）AA'的解析式

（3）点B的坐标

（4）利用中点坐标公式

2.几何法（化斜为直）

（1）求出点H的坐标，可得AH的长度

（3） 求AB的长度(三角函数）

（4） AA'=2AB

（5） 求AF、A'F的长度（三角函数）

（6）可得点A’的坐标

3  .几何法（构造“K字形”相似）

（1）过点A作x轴、y轴的平行线，分别交直线点B、C，连接A’B、A’C（△ABC≌△A’BC）

（2）过点A’作x轴的平行线，过点B、C作这条线的垂线交于点D、E（构造“K字形”相似）

（3）可求AC、AB的长

（4）

（5）可得点A’的坐标

【例】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2,3）关于一次函数y=2x+4的对称点为A’，求点A’的坐标。

解法一：解析式法

解法二：几何法（化斜为直）

解法二：几何法（构造“K字形”相似）

总结：以上三种方法，第一种方法思路简单但有超纲的嫌疑（k1·k2=-1是高中的知识），第二种和第三种方法结合几何知识，计算量较小，建议同学们在后两种方法里任择其一掌握，初三学生在做二次函数压轴题时熟练应用，可以节约计算时间！