心头有数｜杨辉三角

下面这道题是巴蜀中学初2022届九下第一次月考选择题第12题，考察的是杨辉三角的相关知识。

一、什么是杨辉三角

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。‍

二、杨辉三角中的数字规律

我们将杨辉三角每行的数，在表格中列举出来如下：

接下来，我们一起看看，杨辉三角中的数有哪些规律？有哪些联系？

1、杨辉三角与幂的关系

我们将每一行的数加起来，发现刚好都是2的指数幂。

结论：第N行s偶有的数字和是2的（n-1）次幂。

2、斜行与水平行之间的关系

把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6  

把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 

把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 

把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 

把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 

把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1 

将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。

结论：杨辉三角中第n行中的第m个数，等于第m斜行中前n-1个数之和。

3、数字排列

杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2n-1(n是正整数)行的各个数字有什么特点？

结论：观察可知，它们均为奇数，第2n行除两端的1之外都是偶数。

计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：

第1行　　1＋1＝2

第2行　　1＋2＋1＝4＝2^2

第3行　　1＋3＋3＋1＝8＝2^3

第4行　　1＋4＋6＋4＋1＝16＝2^4

第5行　　1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝2^5

　　　　　　　．．．

第n行　　

结论：第n行数字的和为2^n．前n行(含第0行)所有数的和为2^n –1，它恰好比第n行的和2^n小1．‍

杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数。你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？

结论：如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数(素数)