趣味几何｜二次函数内接三角形面积最大值问题的一个结论

二次函数与三角形面积相结合的综合题由于其出题入口宽，出路多，一向受到各路命题人的青睐！

其实这题型的考察方式并不新颖，以往给学生们讲解时一般采用割补法，利用铅锤公式，设点转化为代数法，构造出二次函数求最值。

当这类题型做多了之后，发现了一个结论，对于孩子在解题验证的时候，是能起到非常重要的帮助。

如下图所示，过点P作PQ//AB交该抛物线于点Q，要使SABP最大，由于AB已固定，因此AB边上的高必须最大。

只有当PQ与抛物线只有一个公共点时（即与抛物线相切时），AB边上的高才会最大，此时P、Q两点重合为一个点P。

因为PQ//AB，所以kPQ=kAв=k；

所以设直线PQ的解析式为:y=kx+m(k≠0)

联立二次函数y=ax²+bx+c与直线PQ解析式y=kx+m得：ax²+(b-k)x+(c-m)=0，由韦达定理得:xP+xQ=（k-b)/a

同理：联立二次函数y=ax²+bx+c与直线AB解析式y=kx+n得：ax²+(b-k)x+(c-n)=0，由韦达定理得:xA+xB=（k-b)/a

所以：xA+xB=xP+xQ

当P，Q两点重合时，

xA+xB=xP+xQ=2xP

此时：xP=（xA+xB）/2

结论：二次函数内接三角形面积最大值时，动点P的横坐标等于点A、点B的横坐标和的一半。（抛物线开口向下、向上，以上结论都成立）

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