几何模型 | 面积等分线

在数学解题中，经常会遇到用一条直线平分一个平面图形面积的问题，这些问题涉及到相关图形的性质、几何变换、等积变换等知识点，考查学生的动手操作能力、综合分析问题、解决问题的能力。如何破解这类问题呢？

一、常见的三角形面积等分线

作法：做出边BC的中点P，作直线AP，直线AP即为所求等分线；

理论依据：等底同高的两三角形面积相等；

二、常用的三角形等积代换

已知：ＭＮ ∥ ＥＦ，ＡＣ，ＢＤ 相 交 于 点Ｏ，得结论：Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＤＢＣ ．

理论 依 据：“同 底 等 高 的 两 三 角 形 面 积 相等”，而且可得出：Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＤＯＣ ．

三、中心对称图形的等分线作法

在初中数学阶段，我们经常遇到的中心对称图形有圆和平行四边形等． 圆：圆的对称中心就是其圆心，只要经过圆心作一条直线，便可将该圆的面积平分．

平行四边形：平行四边形的对称中心是两条对角线的交点，只要经过对角线的交点作一条直线，便可以将这个平行四边形的面积平分．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，同样也可以用这种方式将面积平分．

一般地，对于中心对称图形，我们经过它的对称中心作一条直线便可以将它的面积平分．

四、特定条件的图形面积等分线

已知 △ＡＢＣ中，Ｐ为ＢＣ边上一定点Ｐ不是中点，过点Ｐ作一 直 线，使其等分△ＡＢＣ的面积． 

解：取ＢＣ的中点Ｄ，连结ＡＰ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＰ交ＡＣ于Ｅ，作直线ＰＥ，直线ＰＥ即为所求直线．

评析：运用了转化思想．取中点Ｄ，连结 ＡＤ，Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＤＣ，由ＤＥ ∥ＡＰ得Ｓ△ＡＤＥ ＝Ｓ△ＰＤＥ，于是得到Ｓ△ＥＰＣ ＝Ｓ△ＡＤＣ，即直线ＰＥ 即为所求直线．

又如：ＡＦ∥ＥＤ ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＥＦ∥ＣＤ，请用一条直线将它分成面积相等的两部分．

掌握了中心对称图形的面积平分规律，我们再来解决组合图形的面积平分就不是什么难事了，一般只要通过适当的方法将图形分解成两个中心对称图形的组合，利用数学中的转化思想问题就解决了。