定理证明 | 托勒密定理

1、托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．即：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则

．

2、证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，

3、推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有

4、托勒密定理在中考题中的应用

（1）当△ABC是等边三角形时，

如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：

又等边△ABC有AB=AC=BC，故有结论：

．

【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别．

（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图3，当点D在弧BC上时，根据托勒密定理：