来解题吧 | 天津2023年中考数学18题

我们

解：看一下这道题的第(2)问，是典型的无刻度直尺网格作图，作图的本质是利用几何图形的性质来进行线段、角度间的转化。

分析一下这道题如何做：

1、首先根据逆推思维，要作△CPQ为等边三角形，而我们已知△CAB为等边三角形。两个等边三角形共顶点，形成一对手拉手全等三角形。那么我们将草图画出来，分析一下有什么样的结论，可供我们入手。

2、如上图：

①因为△CAP≌△CBQ，则∠ACP=∠BCQ=α；

②CQ与圆交于点E，则弧BE等于弧AD；

③我们根据同弧或等弧所对圆周角相等，则连接AE、BD，则有∠EAB=∠ABD=α；则AE∥BD；

④到此为止，我们其实就是要解决第一个问题，过点A作BD的平行线与圆相交于点E，因为点Q在射线AE上；

⑤所以，这道题解决第一个问题，如何过点A作出BD的平行线？

3、如上图

①通过观察网格图，我们可以发现黄色三角形是全等的，即能得到点F为线段AB的中点；

②我们再观察网格图，能得到两个蓝色的三角形也是互相全等的；

③此时，我们能得到四边形AFBG为平行四边形；

④所以我们延长AF与圆交于点E，则E点即为我们所有；连接CE，则Q点一定在CE上；

⑤接下来我们需要进一步发现点Q的特征，所以我们需要接着研究第一个图。

4、如上图

①由△CAP≌△CBQ，则∠CBQ=∠CAP=60°；

②又因为△ABC为等边三角形，则∠CBA=60°；

③所以我们发现画着？的这个角也是60°；

④这道题就转化为过点B作一条直线与AB的夹角为60°；

⑤这条直线如果作出来，与上面CE的交点即为我们所求的Q点。那么这个60°角如何作呢？

5、如上图

①由上面的结论，我们可知F点为AB的中点；

②通过观察网格图，找到M点，延长MF与网格交于点H；

③则两个蓝色的三角形全等；此时可以证得四边形MAHB为平行四边，即∠ABH=∠A=60°；

④BH即为我们所求的直线；与AE交于点Q即为所求；

6、总结作图步骤

①连接BD与网格交于点G；

②延长GF与网格交于点N；

③延长AN与圆交于点E，作直线CE；

④找到点M，延长MF与网格交于点H；

⑤作直线HB与直线AE相交于点Q，即为所求。