来解题吧 | 2023年西大附中三诊几何证明

在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是线段AC上一点，点F是线段BC上的点，连接BE、AF，直线AF交直线BE于点G．连接GD并延长至点H，使得DH＝DG，连接BH，若∠AEB＝∠AFB＝60°．证明：√3BF=√3AG+2BH．

1、审题之后，发现2倍关系和√3倍关系并不好构造；所以我们可以将关系式进行转化，即求证：√3/2BF=√3/2AG+BH．

2、由∠AFB＝60°，可以构造辅助线BM⊥AF，则√3/2BF=BM

3、由DH=DG，结合等腰△ABC三线合一可知BD=CD，所以连接CG，可以证得△BDH≌△CDG。所以BH=CG。

4、从结论的转化，我们需要得到√3/2AG，所以作AN⊥CG交CG的延长线于点N，从而猜测∠AGN＝30°，则√3/2AG=NG；

5、通过以上线段的转化，我们得到：√3/2BF=BM，√3/2AG=NG，BH=CG，所以要证√3BF=√3AG+2BH，即要证√3/2BF=√3/2AG+BH，也即要证BM=NG+CG，最终要证的就是BM=CN。即要证△CNA≌△BMA；

6、如果能证得△CNA≌△BMA，这这个题基本解决，但是在这个过程中，我们还有2个猜想需要解决：

①猜想：∠AGN＝30°？

②猜想：△CNA≌△BMA？

7、题目所给的∠AEB＝∠AFB＝60°如何用？

①在△AGE和△BGF中，由8字倒角可知∠1=∠2，假设为α

②由外角定理可知：

在△BGF中：∠AGB=∠BFG+∠GBF=60°+α

在AFC中：∠ACF=∠AFB-∠CAF=60°-α

由等腰△ABC可知：∠ABC=∠ACB=60°-α，所以∠ABG=60°-2α

在△ABG中，由三角形内角定理可知：∠BAG=60°+α=∠AGB

所以BA=BG=AC

8、一边一角构全等：∠1=∠2，AC=BG，作FK=FC，可证△FCK为等边三角形。则可证△ACK≌AGF；

所以CK=GF=FK=CF，所以△GCK为RT△，所以∠FGC=∠FCG=30°

到此，①猜想：∠AGN＝30°？这个问题得到解决！！！

9、猜想：△CNA≌△BMA？

①∠CNA=∠BMA=90°

②由等腰△ABG可知：AM=MG=1/2AG，∠ABM=1/2∠ABG=30°-α

由30°直角△GNA可知，AN=1/2AG

所以AM=AN

③∠NCA=∠FCA-∠FCG=60°-α-30°=30°-α

所以∠NCA=∠ABM

到此△CNA≌△BMA的三个条件均已证明出来！！！

这道题就得到了解决。

总结：

1、审题：将线段关系进行转化：√3/2BF=√3/2AG+BH

2、中点：△BDH≌△CDG

3、60°角的转化：BA=BG以及一边一角的构造

4、猜想：①∠AGN＝30°？②猜想：△CNA≌△BMA？