在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E是线段AC上一点,点F是线段BC上的点,连接BE、AF,直线AF交直线BE于点G.连接GD并延长至点H,使得DH=DG,连接BH,若∠AEB=∠AFB=60°.证明:√3BF=√3AG+2BH.
1、审题之后,发现2倍关系和√3倍关系并不好构造;所以我们可以将关系式进行转化,即求证:√3/2BF=√3/2AG+BH.
2、由∠AFB=60°,可以构造辅助线BM⊥AF,则√3/2BF=BM
3、由DH=DG,结合等腰△ABC三线合一可知BD=CD,所以连接CG,可以证得△BDH≌△CDG。所以BH=CG。
4、从结论的转化,我们需要得到√3/2AG,所以作AN⊥CG交CG的延长线于点N,从而猜测∠AGN=30°,则√3/2AG=NG;
5、通过以上线段的转化,我们得到:√3/2BF=BM,√3/2AG=NG,BH=CG,所以要证√3BF=√3AG+2BH,即要证√3/2BF=√3/2AG+BH,也即要证BM=NG+CG,最终要证的就是BM=CN。即要证△CNA≌△BMA;
6、如果能证得△CNA≌△BMA,这这个题基本解决,但是在这个过程中,我们还有2个猜想需要解决:
①猜想:∠AGN=30°?
②猜想:△CNA≌△BMA?
7、题目所给的∠AEB=∠AFB=60°如何用?
①在△AGE和△BGF中,由8字倒角可知∠1=∠2,假设为α
②由外角定理可知:
在△BGF中:∠AGB=∠BFG+∠GBF=60°+α
在AFC中:∠ACF=∠AFB-∠CAF=60°-α
由等腰△ABC可知:∠ABC=∠ACB=60°-α,所以∠ABG=60°-2α
在△ABG中,由三角形内角定理可知:∠BAG=60°+α=∠AGB
所以BA=BG=AC
8、一边一角构全等:∠1=∠2,AC=BG,作FK=FC,可证△FCK为等边三角形。则可证△ACK≌AGF;
所以CK=GF=FK=CF,所以△GCK为RT△,所以∠FGC=∠FCG=30°
到此,①猜想:∠AGN=30°?这个问题得到解决!!!
9、猜想:△CNA≌△BMA?
①∠CNA=∠BMA=90°
②由等腰△ABG可知:AM=MG=1/2AG,∠ABM=1/2∠ABG=30°-α
由30°直角△GNA可知,AN=1/2AG
所以AM=AN
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