题目:如图,在△ABC内部,以AC为斜边作Rt△ACD,AD=CD,连接BD,∠CBD=45°.点F为AC上一点,连接DF,过点A作AH⊥DF分别交DF于点G,交DC于点H,若AG=2BD,∠ACB=∠AHD,求证:BD=GD;
简析:
这道题给到的几个条件,一一分析,最开始AG=2BD是不晓得怎么用的。但是我们可以通过倒角把∠ACB=∠AHD这个条件用好。
1、∠ACB=∠AHD如何用?
①△ACD为等腰RT三角形,则∠4+∠5=∠2=45°;
②∠ACB=∠AHD,则∠2+∠3=∠1=∠2+∠4,所以∠3=∠4
2、一箭双雕,边角转化
①由∠DBC=45°,联想到构造等腰RT△DBI,则DB=DI
②由AG=2BD,联想到构造AG的中点J,则AJ=JG=BD=DI
③又因为∠4+∠5=45°,∠3+∠6=45°,∠3=∠4,则∠5=∠6;
④所以△DAJ≌△CDI(SAS),则∠AJD=∠DIC=135°。
⑤所以∠DJG=45°,所以△DJG为等腰RT三角形,所以DG=JG;
⑥所以DG=JG=AJ=BD得证。
反思:
这道题,可以得到H为CD的中点。原因如下:
1、在证明这道题的过程中,我首先想到的是构造弦图;
①即作CQ⊥DF的延长线于点Q,则△AGD≌△DQC;
②由△AGD≌△DQC,得到CQ=DG,AG=DQ;
③又因为AG=2BD,所以AG=DQ=2BD;
④如果我们证得BD=DG,则AG=DQ=2BD=2DG=2CQ,则DG=GQ,即G为DQ的中点,又因为HG∥CQ,则H为DC中点,HG为△DQC的中位线,所以CQ=2HG=DG=BD;
2、如果我们的辅助线是构造弦图,则需要证明CQ=BD,但是通过尝试,发现没有更好的方法去证明得到。主要原因是∠DBC=45°没有好的方式联系起来。
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