来解题吧 | 2023年巴蜀5月月考几何证明

题目：如图，在△ABC内部，以AC为斜边作Rt△ACD，AD＝CD，连接BD，∠CBD＝45°．点F为AC上一点，连接DF，过点A作AH⊥DF分别交DF于点G，交DC于点H，若AG＝2BD，∠ACB＝∠AHD，求证：BD＝GD；

简析：

这道题给到的几个条件，一一分析，最开始AG=2BD是不晓得怎么用的。但是我们可以通过倒角把∠ACB＝∠AHD这个条件用好。

1、∠ACB＝∠AHD如何用？

①△ACD为等腰RT三角形，则∠4+∠5=∠2=45°；

②∠ACB＝∠AHD，则∠2+∠3=∠1=∠2+∠4，所以∠3=∠4

2、一箭双雕，边角转化

①由∠DBC=45°，联想到构造等腰RT△DBI，则DB=DI

②由AG=2BD，联想到构造AG的中点J，则AJ=JG=BD=DI

③又因为∠4+∠5=45°，∠3+∠6=45°，∠3=∠4，则∠5=∠6；

④所以△DAJ≌△CDI（SAS），则∠AJD=∠DIC=135°。

⑤所以∠DJG=45°，所以△DJG为等腰RT三角形，所以DG=JG；

⑥所以DG=JG=AJ=BD得证。

反思：

这道题，可以得到H为CD的中点。原因如下：

1、在证明这道题的过程中，我首先想到的是构造弦图；

①即作CQ⊥DF的延长线于点Q，则△AGD≌△DQC；

②由△AGD≌△DQC，得到CQ=DG，AG=DQ；

③又因为AG=2BD，所以AG=DQ=2BD；

④如果我们证得BD=DG，则AG=DQ=2BD=2DG=2CQ，则DG=GQ，即G为DQ的中点，又因为HG∥CQ，则H为DC中点，HG为△DQC的中位线，所以CQ=2HG=DG=BD；

2、如果我们的辅助线是构造弦图，则需要证明CQ=BD，但是通过尝试，发现没有更好的方法去证明得到。主要原因是∠DBC=45°没有好的方式联系起来。