题目:在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,且AB=AC,AD=AE.AD与BC相交于点N,点D在BC下方,连接BD,且AD⊥BD,连接CE并延长与BA的延长线交于点F,点M是CA延长线上一点,且CM=AF,证明:CF=AN+MN;
1、手拉手模型发现并证全等
①因为等腰RT△ABC和等腰RT△ADE,可以证得△ABC≌△ADE
②所以∠AEC=∠ADB=90°=∠DAE,所以AD∥CF;
当证明到AD∥CF,再结合截长补短的线段关系,联想到构造平行四边形。
2、平行四边形的构造
①构造平行四边形AHCF如上图所示;
②因为AF=CM(已知),AF=CH(平行四边形),所以AF=CH=CM;
③因为CH∥BF,∠BAC=90°,所以∠ACH=90°(两直线平行,同旁内角互补)
④因为∠ACB=45°,
所以∠HCB=45°=∠ACB
⑤所以△HCN≌△MCN(SAS),所以MN=NH
3、导边的关系
所以CF=AH=AN+NH=AN+MN
总结:
1、手拉手模型得到全等三角形,通过倒角从而得到CF∥AD;
2、通过平行线及线段相等关系,联想到构造平行四边形是本题比较重要的一个环节;
3、最后通过全等三角形的证明,得到线段的关系。
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