第一步是为所有与结果相关（Y=1）的真值表行（第1、2、3、4和6行）创建一个布尔表达式（也称原始表达式，primitive expressions）。第1行可以写为~A~B~C，第2行可以写为~A~BC，以此类推。表4.9中包含的信息可以表示如下：~A~B~C+~A~BC+~AB~C+~ABC+A~BC→Y。在创建真值表的过程中，这五个原始表达式都是Y的充分条件。这个公式是表达真值表中所包含充分条件的最复杂的方式。接下来将简化这些表达。逻辑最小化的第一原则指导：如果两个真值表行都与结果相关联，仅在一个条件下不同——该条件在一行中存在而另一行中缺失——那么这个条件可以被认为是逻辑冗余的条件，在真值表行的其余条件存在时，该条件与结果的发生不相关。这个逻辑上冗余的条件可以省略，且这两行可以合并成一条更简单的充分条件组合。例如，第1行(~A~B~C)和第2行(~A~BC)除了条件C以外其余条件是相同的：条件C在第1行中不存在而在第2行中存在。因此，这两行可简化为~A~B。换句话说，我们可以将表4.9中包含的信息写成：~A~B+~AB~C+~ABC+A~BC→Y。将逻辑最小化原则应用于原始表达式~AB~C（第3行）和~ABC（第4行）。它们仅在条件C的值有所不同，因此可以将两行简化为~AB。原表达式可简化为：~A~B+~AB+A~BC→Y。相同的逻辑最小化原则，即匹配一对仅在一个条件值不同的原始表达式，同样适用于结果变量值相同的任何两个组合。在示例中，组合~A~B和~AB仅在条件B的值不同，那么条件B可以去掉，两个表达式可以简化为~A。这意味着对于Y来说，条件~A都是充分条件，无论条件B或C如何取值。表达式可进一步简化为：~A+A~BC→Y。这个公式在逻辑上等同于最复杂的表达式和所有中间表达式。由于这是基于3.1.1.2节中案例相同的数据，我们注意到解项的差异。在3.1.1.2节中，相同的数据得出的解项为：~A+~BC→Y。不同之处在于条件A与~BC的结合。当为表4.9中的信息找出最简洁的解项时，是否需要包含条件A？答案是不需要。因为组合~BC包含原始表达式A~BC（第6行）和~A~BC（第2行），也就是说，~BC对于Y是充分条件，我们也可以说A~BC和~A~BC都是Y的充分条件。由于这两个原始表达式仅在A的值上有所不同，因此可以删除条件A。请注意，逻辑最小化过程中，允许在多个逻辑最小化中使用相同的原始表达式。在我们的示例中，第2行中的原始表达式~A~BC可以与第1行的原始表达式匹配（~A~B~C，从而得到~A~B），也可与第6行的原始表达式匹配（A~BC，从而得到~BC）。这意味着第2行的原始表达式包含多个质蕴涵项（prime implicant），我们将在第4.3.2节中更详细地讨论这个问题。目前，我们可认为解项是：~A+~BC→Y。（译者注9：这里提到了质蕴含项选择的问题，也是新手经常遇见但难以理解的问题，请参考推送：为什么简约解这么多？——QCA中冗余质蕴含项的选择问题（Use of prime implicants））。这个公式是总结表4.9中包含的充分性信息的几种方法之一。此处所提及的所有不同的解项，以及最小化过程的中间步骤，（a）在逻辑上是等价的；(b)表达真值表中的相同信息；(c)不相互矛盾，也不与真值表中包含的信息相矛盾；(d)是现有经验信息的总结。真值表中的数据有多种解是可接受且逻辑正确的，这也是QCA的一般特征。而选择哪种解作为可用信息的实质性解读，取决于特定研究问题，与公式逻辑并无关系。相比于“~A+~BC→Y”，我们可能更喜欢“~A+A~BC→Y”，主要原因如下。例如，关于稳定民主国家出现的文献（Y）提出了一个强有力的观点，即民主不可能在暴力动荡的情况下形成。而解项A~BC提供了实证证据，证明了这个观点：如果与~BC结合，A确实可以成为Y的INUS条件。文中的案例与文献中的假设观点相反，稳定的民主政体可以在有暴力动乱的情况下出现——但只有当这些国家还同时拥有种族非同质的人口（~B）和多元化的政党制度(C)时才能出现。虽然解项~A+~BC→Y是正确的，也包含此信息，但条件A的作用并不明显。在该特定话题下，包含A~BC的解项，有助于将实证证据与之前存在的理论知识及期望联系起来。（译者注10：结合实践知识来选择质蕴含项）与此相关的一个论点是，更复杂的解项将有助于解答那些无法解释的情况。想象一下，关于民主稳定的文献迄今未能解释为什么某个国家（我们将称之为X）是一个稳定的民主国家。我们假设X国可以用A~BC组合进行描述。通过选择包含该组合解作为导致Y的充分条件，我们能够以一种更简捷的方式证明为什么X国能成为稳定的民主国家。（译者注11：结合理论知识来选择质蕴含项）4.3.2逻辑冗余的质蕴涵项（同样参考推送：为什么简约解这么多？——QCA中冗余质蕴含项的选择问题（Use of prime implicants））4.3.3 与结果缺失分析的相关问题集合关系是不对称的（见3.3.3节）。这种不对称的一个含义是，结果的出现和缺失需要单独分析。前文提到的从数据矩阵到真值表的所有分析步骤以及逻辑最小化同样适用于分析结果的缺失。继续采用表4.2中的案例，现在将~Y（不稳定的民主制度国家的集合）作为感兴趣的结果变量。从必要性分析开始，我们发现只要~Y存在，A也存在（另见3.2.1.2节）：A←~Y。即经历剧烈的动荡是拥有不稳定的民主制度的必要条件。对于充分性分析，采用Quine-McCluskey算法对~Y=1的所有行进行分析，并得到以下结果：A~C+AB→~Y。这可以通过析出条件A（第2.4.1节）重写为：A(B+~C)→~Y。在经历过剧烈动荡的社会中，如果同时拥有种族同质的人口和/或没有多元化的政党制度，将产生不稳定的民主国家。产生结果~Y的解项与对产生Y的解项不同。有三点值得说明。第一点是普遍性的，第二点和第三点源于我们选择的案例的特殊性。首先，如果一种现象的发生和不发生（缺失），例如民主的稳定性和不稳定是两种性质不同的事件且需要单独解释，那么它通常需要用不同的理论和假设来解释这些结果。也就是说，研究者可能需要选择不同的条件构建一个全新的真值表（译者注12：选择一个不同的~Y变量，或使用不同的测量，或采用不同的校准），而不仅仅是在同一个真值表中将结果值从Y更改为~Y。这是由于概念不对称性，即一个概念的否定通常包含一些性质不同的概念。例如，非民主国家的集合指的是军政权、神权政体和一党政权等等。同样，例如，未婚人士的集合包括单身、寡妇等。简而言之，不对称性可能不仅需要使用不同的条件来分别解释Y和~Y，它可能还需要采用不同的条件对性质不同的~Y进行解释。第二个注意事项：在必要性分析中，我们将条件A确定为必要条件。同时，对充分性的分析揭示了两条路径，且这两条路径都涉及条件A。因此，看起来，只要一个条件是所有充分路径的一部分，那么这个条件就将是结果的必要条件。如果在所有充分路径中都没有出现条件，则不是必要条件。但是，这两个结论在QCA的应用中都可能是错误的。只有对于某些特定的真值表如此分析，也即在真值表的2k个逻辑可能的条件组合中，每个组合的结果值都是1或0时，这两个结论才成立。正如5.1、6.1和6.2节所展示的，在实际中社会科学数据非常复杂，几乎不会出现这种情况。在QCA方法的应用中，真值表无法避免包含矛盾行或逻辑余项。当出现这些情况时，真值表的充分性分析可能无法正确揭示必要条件存在或不存在。在第9章中，我们详细说明了错误必要条件出现和真实必要条件消失的具体情况。就目前而言，建议将必要性和充分性分析分开，而对于必要性和充分性的陈述仅基于分别对必要性和充分性的分析。第三个注意事项与第二个类似。由于本文的例子很简单，它产生了一个例外：在这个例子中，可以根据Y的公式推导出~Y的充分性解项，而无需进行单独的分析。根据DeMorgan定律，我们可以将Y的充分性解项由~A+~B*C→Y转换为A*(B+~C)→~Y。这与根据表4.2对结果~Y的实证分析得出的公式相同。然而，如前所述，在社会科学研究实践中，这个步骤是有问题的。它仅在特定的真值表中才是对的，也即，当真值表没有矛盾项（第5.1节）或逻辑余项（第6.1和6.2节）时。否则，应用DeMorgan定律产生的结果将导致一些真值表行要么被忽略，要么不成立，或两者都有（第8章和第9.1节）。由于特定的真值表在实际生活中很少见，因此正确使用此处描述的步骤以及DeMorgan定律的场景非常有限。由于所有这些原因，在实践应用中（第11.1节），应始终对结果的发生和缺失进行单独分析，并对必要性和充分性进行独立分析，因为因果不对称也指的是实际上可能需要分别使用不同的前因因素来解释结果的发生和不同类型的缺失。
一目了然
Quine-McCluskey算法在真值表中使用布尔表达式进行简化。它首先列出所有充分性的条件组合。随后，通过布尔代数规则对逻辑表达式进行简化。检查质蕴涵项通常能够对不够明显的解项进行进一步简化。在所有充分性解项中析出的INUS条件并不一定是结果发生的必要条件。因此，必须分别分析必要条件和充分条件。建议先进行必要条件分析，后进行充分条件分析。结果的缺失必须单独分析。只有当组合中既没有逻辑余项，也不存在矛盾的真值表行时，才能应用DeMorgan定律。请注意，给定真值表中包含的所有信息可以通过不同的解项来表示。逻辑最小化原则将确保这些信息在逻辑上是等价的，仅在复杂程度上有所不同。需要根据理论和实践来决定对哪些解项进行解读。原文：Schneider, C., & Wagemann, C. (2012). Truth tables. In Set-Theoretic Methods for the Social Sciences: A Guide to Qualitative Comparative Analysis (Strategies for Social Inquiry, pp. 23-41). Cambridge: Cambridge University Press.
