以动态数学知识网络为高三数学复课提质增效

——写给辛勤奋战在高三数学复课教学一线的师生

陕西省丹凤中学 张富群  邮编：726200

纵观近年来的高考数学试题，其显著特点是考查数学学科基础知识，特别是通过数学学科主干知识的考查，来检测考生对数学学科知识的整体把握、内在联系的理解。对高三数学复课来说，如果积极引导学生掌握数学最基本内容，在高考中就可以得90——105分的考试分数，这只是一个最保守的估计。基础知识掌握好了，建构起属于考生自己内化于心的数学学科课程知识网络，不仅为正确快速解答基础知识试题创造了条件，而且为解答具有难度的试题赢得了时间。同时，难题是相对的，不是绝对的，解答难题的先决条件是灵活运用基础知识分析和解答问题。

在当前的高三数学复课教学中，存在着偏离帮助学生建构数学基础知识网络，把复课的重心放在解题上的偏差。例如，依据学校统一下发的高三数学复课蓝本，按部就班的向下进行，缺乏对知识的系统归纳和对数学思想方法的提炼；认为基础知识简单，学生肯定会，把时间和精力投放到解难题上，集中在纯粹的解题技巧上，等等。从多年来的高考数学试题来看，平时解过的难题在高考中再现的机会几乎为零，高考重视的多是通法，技巧性试题难以遇到。

高三数学复课教学中，教师应首先转变观念，认真研究近年来的高考数学试题，明确新课程背景下高考数学试题的新要求、新变化和新特点，把复课的重心放在引导学生自主建构个性化数学基础知识网络上，提高复课效益，使学生充满自信地走向高考考场，取得优异成绩。

高三数学知识网络的意义

学生个体头脑中对高中数学知识以章为单位，对基本概念、基本公式、基本定理烂熟于心，需要时能从记忆宝库中迅速检索，呼之欲出前来参与解决当前问题；熟练掌握解方程、不等式（组）、二次函数（包括字母参数）相关内容和方法、代数恒等式及其变形等，形成基本技能；深刻体验并能在相似情境下再现的数形结合、函数与方程（组）、待定系数法、转化法等数学思想，正难则反、以退为进、由具体到抽象、由特殊到一般、回到定义中去、揭示隐含条件、结论也是已知信息、逆向思考等数学科学思维方法。体会数学学科知识之间的内在联系，体验和积累知识网络交汇点，提高用哲学的眼光审视和思考解决数学问题的能力和水平。这就是数学知识网络的意义。

数学知识网络具有立体性、发散性和独立性。所谓立体性，就是在数学知识网络中，陈述性知识、数学思想方法、典型例题相互融合，在不断积累与感悟中形成三位一体的整体。所谓发散性，是指数学知识网络是动态发展的，不断感悟中逐步扩张的，随时都可能产生新的思考，新的体会，丰富并完善所建立的知识网络。所谓独立性，是指数学知识网络是属于学生个体的，是建立在个体心灵深处可以再现与检索的呼唤，不同的学生个体对数学知识的感悟水平存在着差异，因此在头脑中建立的数学知识网络是不同的，各具千秋的。

高三数学知识网络的应用价值

首先，数学的特点是看不见，摸不着，但它却是真真切切的存在于我们的心中，是一种来自于心灵深处的强烈呼唤。在高三数学复课教学中，教师把重心放在引导和帮助学生建立属于自己的数学知识网络上，学生就会扎实的把握数学知识点，在遇到相关问题时，就会迅速在头脑中从所建立的知识网络中将所需要的基础知识准确检索出来，动员基础知识前来参与解题活动，不在回忆基本概念上浪费时间，而把更多的精力放在解决问题的方法上。

     其次，什么是解题，当生命个体自己解了的时候才叫解题。什么是方法，当生命个体自己使用了两次以上时，才叫方法。数学解题的突出特征是个性化。学生个体对数学知识和方法的感悟水平决定着高考中解决新问题的能力水平。高三数学复课教学的成败，教师的解题能力和水平固然重要，但根本是看学生自己是否能够在不断体会基础知识和独立解题中的感悟和积累，是看学生能否建立起属于自己的能够准确再现的数学知识网络。

第三，高考数学试题的显著特点，一是沿着课本知识内容体系长度设置试题（包括分值），二是远离现有成题命制创新性试题。学生只有掌握课本基础知识，形成知识网络，才能迅速弄清高考试题考查的课本基础知识位置，明确试题源头，快速作出反应，形成解题思路，准确解答试题。在高考考场上，当学生拿到试题时，不是从老师平时所讲的题目中寻求解题思路，而是依据自己的积累，沿着基础知识与解题经验的方向进行思考。因此，老师平时所讲的例题，学生很快就会忘记，在高考中的作用不大，而学生自己建构的数学知识网络，在高考中将会发挥直接与根本的作用。

第四，对学生个体来说，学习数学不仅是为了应对高考，在高考中取得优异成绩，考上重点大学，重要的是，为大学深造奠定必备的数学基础知识和数学思想方法，更为重要的是，为终生学习和发展奠定数学科学基础知识。在高三数学复课教学中，教师把复课重心放在帮助学生建构数学知识网络上，就是放眼未来，为学生未来人生发展奠定数学根基。

引导学生构建高三数学知识网络的基本方法

清晰背熟数学教材中章节名称。在高三数学复课伊始，教师自己首先要将数学教材有几本书，每本书有几章，每章有几节，各章节的名称十分熟练的背熟。这是数学知识网络的基本框架。然后要求学生和自己一样，将数学教材按每本书将各章节名称背熟，形成整体知识网络架构。有了整个架构，基本概念、基本公式、基本定理、基本技能、数学思想方法就有了存在和扩张的根据地。如数家珍般清晰背熟教材各章节名称，就明晰了高中数学，我们都学习了些啥，高考数学试题的外延和边界就在我们的掌控之内。

从文字语言、符号语言、图形语言三个维度熟练掌握数学基础知识。在高三数学复课教学中，教师先给学生深入分析具体实例，从文字语言、符号语言、图形语言三个维度剖析某一基础知识（概念、定理），然后向学生布置相关任务，由学生自己独立从文字语言、符号语言、图形语言三个维度解读基础知识。文字语言便于记忆，符号语言方便简缩性表达，图形语言提升空间想象力，使基础知识具有立体感，活起来。在此基础上，让学生以有意识记的方式记下来。对于基本公式，教师首先引导学生明确公式的前后联系、推导过程、逆向运用，让学生自己独立推导一遍，穷尽逆向转化。

在相同处建立联系，在相异处加以区别。高中数学中的许多内容具有相互依存的内在联系。例如，指数和对数、指数函数和对数函数、排列与组合、椭圆与双曲线等，它们从定义开始，就具有相同点与相异点。在高三数学复课教学中，教师要引导学生把具有内在联系的数学知识放在一个系统进行研究，从相同处建立联系，从相异处加以区别，建立起相互联结、富有个性的知识网络。

熟练掌握基本技能。高中数学中的基本技能具体包括集合运算、函数运算、向量运算、逆向使用公式、作图技能、平移转换、解方程组、不等式等。从高考试题来看，二次函数在给定区间上的值域（最值）、三角函数在给定区间上的值域（最值）是常考常新的重要基本技能，在高三数学复课教学中，教师要给学生留出熟练掌握基本技能的时间和空间，让学生明确基本技能的具体类型，形成完整印象。在具体解题过程中，整体的运用基本技能把题解完。高考数学评分标准对最后答案是否正确要求很高。因此，基本技能是解决会而不对、对而不全这一普遍现象的关键，是在最后关头取得决定性胜利的根本。基本技能是学生自己练出来的，教师要密切关注学生对基本技能的掌握情况，针对具体学生的掌握情况予以指导。

提炼简缩性语言。数学知识网络具有简缩性特点，简缩性建立在深刻理解的基础之上。举个例子，函数单调性与奇偶性之间的关系，奇函数在原点两侧单调性形同（同增或同减）；偶函数在y轴两侧单调性相异（增减或减增），简缩为：“奇同；偶异”。简缩性语言使学生对数学知识的理解更加深化，便于在高考解题时从记忆宝库中迅速检索出来，赢得宝贵时间。高中数学中以简缩性语言表达知识之间联系的内容很多，教师首先要多积累，常提炼，引导学生在深刻理解的基础上将简缩性语言记下来，丰富自己的数学知识网络。

在独立解题过程中积淀数学思想方法。数学思想方法是数学解题的灵魂。 但是，数学思想方法不是孤立的存在，而是通过解决数学问题的过程体现出来的，是与解决数学问题水乳交融在一起的科学思维方式。对于生命个体来说，使用了两次以上，在相似问题情境下能够再现的就叫做方法。在高三数学复课教学中，教师要避免大容量、快节奏给学生讲题的做法，也要防止用课件将复课资料中内容向学生展示的浏览式课堂教学方式。每节课讲两道题左右，以例题为载体，将知识、方法融入其中，为学生做出规范解题的示范，给学生提供相关问题，让学生进行即时练习，使学生在独立练习中体验和积淀数学思想方法，将数学思想方法融入数学知识网络之中，提高解题能力。

把结论作为已知信息。代数中把所求结论设成未知数，然后让未知数和已知数一起参与到等式之中，列方程求解，这是代数中最精彩、最令学习者感动的地方。推而广之，在数学解题过程中，把结论作为已知信息，从要求解的结论信息出发，找寻结论成立的必要条件，然后明晰结论成立的充分必要条件，形成解题思路。解题思路形成以后，把解题过程直接叙述出来就快速多了。在高三数学复课教学中，教师要积极引导学生探索解题思路的形成过程，把结论作为已知信息，让结论信息活起来，灵动起来，赋予结论信息生命活力。通过学生独立解题实践，使学生获得将结论作为已知信息思考的深度体验，让学生从中获得生命感悟，成为自己个性化数学知识网络的有机组成部分。

不断感悟，动态升华。数学知识网络是在学习者学习的过程中不断感悟下动态升华的个性化知识体系。在高三数学复课教学过程中，教师首先要不断探索和勤于反思，在教学中获得新感悟，增加新见识，充分发挥课程资源核心价值引领作用，帮助学生建构具有生命力的数学知识网络。通过数学知识网络，使学生对数学知识由无序走向有序，由模糊走向清晰。我们应树立这样的认识：教师是学生学习的领航者和灯塔，而舵手永远是学生自己。以动态数学知识网络为高三数学复课提质增效就是基于这样的观点。