看似很简单的问题其实非常复杂，球是否相同，箱是否相同？是否允许有空盒 不难看出一共8类情况 1）球同，盒同，无空箱 2）球同，盒同，允许空箱 3）球同，盒不同，无空箱 4)球同，盒不同，允许空箱 5)球不同，盒相同，无空箱 6）球不同，盒相同，允许空箱 7)球不同，盒不同，无空箱 6）球不同，盒不同，允许空箱 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 先来看3,4.这个就是最典型的公考中经常遇见的插板法（关于插板法的解释我懒的说了，自己搜，论坛百度都容易找的到） 只是需要注意是否允许空箱 3的公式是把n个球排成一排，（一种方法），它们中间有n-1个空。取m-1个小棍，放到空上，就把它们分成m部分，由于小棍不相邻，所以没有空箱子。它的方法数有C(N-1,M-1),也就是球减1里面挑M-1个箱子做组合 4的公式在3的基础上升华出来的，为了避免空箱子，先在每一个箱子假装都放一个球，这样就有n+m个球，C（n+m-1,m-1)，多了M个元素而已 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 关于1,2类情况，本来我想教大家一个特殊三角形的，但画起来比较麻烦，速度还不如穷举快，所以就略了，愿意学的我还是可以教他，不会真的还不如穷举来的快。个人建议还是用最常见的凑数法，而且公考中不会出现球和盒子数字比较大的情况。 法，例如7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个（1号情况），则先4个盒子每个放1个，多余3个。只需要考虑这3个球的去处就OK,由于盒子相同，所以只需要凑数就OK,不必考虑位置。 比如300，211，111只有三种 例如7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，则还是凑数，大的化小的，小的化更小的。。。。。。 0，0，0，7 0，0，1，6 0，0，2，5 0，0，3，4 0，1，1，5 0，1，2，4 0，1，3，3 0，2，2，3 1，1，1，4 1，1，2，3 1，2，2，2 11种 1，2，3，4公考常见类型，必须学会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1234都是球相同的情况。但如果球不同怎么办？？？ 先来分析最特殊的8号：N球不同，M箱不同，允许空。每个球都有M种选择，N个球就有M的N次方分法。 关于5，6，7这情况，我先教大家一个非常特殊的三角形，这个你在狗哥百度非常难以找的到的，秘传型，一般人我不会告诉他的。我画了个图，如果看不到的话直接看这个地址 http://tu.1pian.com/upload/1245501262x1996894379.jpg 看起来很复杂，其实很简单 第一左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1 第2 S（n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)，含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的K倍 例如S（7，3）就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3 所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定） 所以S(3,2)=第2排第1个数字+第2排第2个数字两倍=1+1*2=3，所以第3排数字就是1,3,1.同理S(4,2)=S(3,1)+2*S(3,2)=1+2*3=7, S(4,3)=S(3,2)+3*S(3,3)=3+3*1=6......如此类推三角形 ----------------------------------------------------------------------------------------- 当遇见类型5即：N不同球，M同箱子，无空箱。一共有S(N,M)种分法，比如7个不同球，4个相同箱子，每个箱子至少一个，则看三角形的第7行，第4个数字多少。 而类型6，N不同球，M同箱，允许空的时候（在类型5的基础上允许空箱）。明显是N个球不变，一个空箱子都没有+有一个空箱子+有两个空箱子+有三个空箱子+，，，，，，都装在一个箱子。说的简单点一共有就是 S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M)=也就是说第N排开始第1个数字一直加到第M个数字就是总的分法 ---------------------------------------------------------------------------------------- 而类型7同样是在类型5的基础上升华，因为5是箱同的，而7箱不同，所以箱子自身多了P(M,M)=M!倍可能 所以类型7的公式就是M!乘以S(N,M) ------------------------------------------------------------------------------------------- 综上所述,所有8种类型都有一定的解法了 大家可以到云淡的帖子http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9919765.html，练习一下，看看他的其中，5，6，7类型种情况是不是比我的办法慢很多。 例如8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法 球不同，箱同，可以空，则就是S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M) 看三角形就知道第8行前3个数字的和1 127 966=1094， 8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 球不同箱同，非空，公式S(N,M)即第8行第3个966 8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 球不同，盒不同，非空，公式M!*S(N,M)=3!*S(8,3)=6*966=5796 |
引文来源 排列组合之“捆绑法”、“插空法”、“插板法”_李委明_新浪博客
1：8个相同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
取球最少的盒子取1，取球第二少的盒子可以取[1,3] 3种
取球最少的盒子取2，取球第二少的盒子可以取[2,3] 2种
取球最少的盒子取3，此情况不存在，一共5种
按取球多寡来分类讨论可以做到不遗漏，不重复
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2：8个相同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
插板法，c7 2=21
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4：8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
取球最少盒子取1时，有116，125，134三种情况，分别有c8 6=28, c8 1*c7 2=168, c8 1*c73=280
取球最少盒子取2时，有224，233二种情况，分别有c82*c62/2=210，c83×c53/2=280
一共28+168+280+210+280=966
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3：8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
4问中的966种情况，每种情况的三个元素都是互异的，比如 116（因为球是不同的），这三个元素进行全排列p33=6,乘以966=5796即为所求
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5：8个相同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
最少盒子取0，次盒子取[0,4]
最少盒子取1，次盒子取[1,3]
最少盒子取2，次盒子取[2,3]
一共5+3+2=10种
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6：8个相同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法
预先在三个盒子种各放入一小球，则问题转化为11同球放3不同盒子，每盒至少1个，几种方法？ 用插板法，c10 2=45
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7：8个不同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法
每个球都有3种选择，8个球就有3^8=6561
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8：8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
7问中的一般情况(3个元素都相异），比如116，一共有6种排列（球是不同的），此问中，盒子是相同的，因此这6种排列都只算一种情况。
但如果2个元素相同的时候，有且只有 008，只有3种排列，我们多添加3种进去，令其也重复6次，则（6561+3）就是 所有的情况都重复了6次，（6561+3）/6=1094即为所求。
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