将无限循环小数化成分数的有效方法

作者：李爱君，单位：山东省东营市河口区孤岛采油厂孤三区。邮码：257200。http://blog.163.com/liaijun668@126/blog/static/212683682017325155170/

一题多解、将无限循环小数化成分数或者整数的有效方法：根据小数与分数的性质、任意无限循环小数均有一个分数与其相相互对应，因此，将已知无限循环小数对应着的“未知分数”设为X, 无须用等比数列极限求前n项和的方法，然后求方程的解，答案完全正确：

    例一：将无限循环小数0.123?化成分数：

解题：已知无限循环小数：0.123?，将已知无限循环小数0.123?的“未知分数”设为X,∴X=0.123?——1式，（1式）两边同时乘以10得：10X=1.23?——2式，（2式）-（1式）得：9X=1.11，X =1.11/9，X =0.37/3，X=37/300，∴X=0.123?=37/300，即：0.123?=37/300

    例二：将无限循环小数0.9?化成分数（整数）：

解题：已知无限循环小数0.9?，将已知无限循环小数0.9?的“未知分数”设为X，即0.9?= X——1式，令10X=10（0.9+0.09?）,10X=9+0.9? ——2式，将（2式）中的无限循环小数0.9?更换为X得：10X=9+X， 10X-X=9，9X=9，X=9/9，X=1/1，X=1，∴X=0.9?=1，即：0.9?=1

 例三：将无限循环小数0.26??化成分数：

解题：已知无限循环小数0.26??，将已知无限循环小数0.26??的“未知分数”设为X，

即0.26?? =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026??)，100X=26+0.26??——2式，

将（2式）中的无限循环小数0.26??更换为X得：100x=26+X，

100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26??=26/99，即：0.26??=26/99

   例四：将无限循环小数0.123??化成分数：

 解题：已知无限循环小数0.123??，将已知无限循环小数0.123??的“未知分数”设为X，

即0.123??=X——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123??)，1000X=123+0.123??——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123??更换为X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123??=41/333，即：0.123??=41/333

   例五：将无限循环小数0.128??化成分数：

 解题：已知无限循环小数0.128??，将已知无限循环小数0.128??的“未知分数”设为X，即0. 128??= X——1式，令1000X=1000(0.128+0.000128??)，1000X=128+0.128??——2式，将（2式）中的无限循环小数0. 128??更换为X得：1000X=128+X，1000X-X=128， 999 X=128，X=128/999，

∴X=0.128??=128/999，即：0.128??=128/999

   将其规律归纳如下：通过上述例题证明我们得知：设已知无限循环小数的“未知分数”为X ,而且 等式两边同时乘以10、100、1000等等，并非任意的，毫无目的，而是有针对性，需要区别对待，不过恰恰有规律可循，要根据小数循环节的数字来定，如果循环节是1位数字乘以10¹，如果循环节是2位数字乘以10²，如果循环节是3位数字乘以10³，等等以此类推如果循环节有n个数字需要乘以10ⁿ，目的是为了消除无限循环小数的无限循环节，…；因为无限不循环小数（无理数）无公度比，因此无理数（无限不循环小数）不能化成分数形式、即不能表达为n/m的形式，…。