最近我在追一位美国宝藏数学老师Steve Wyborney的博客和教学视频。这位老师是我在脸书的一个美国数学老师群里发现的,挖了一下背景后才知道,原来他不止获过很多奖项,还是个响当当的数学网红,从学前班到5、6年级的老师、家长,都对他的教学方法赞口不绝。
我看了一部分他的教学视频, 发现这位老师最显著的特点是,他特别擅长把“数”和“形”结合起来,让孩子看到、摸到真实世界中数字的几何表达,从而培养孩子的“数感”。
比如他用积木方块给出这样一个图形,让孩子回答方块的数量:
对于一个能数数,或者会简单加法、乘法的孩子来说,这并不困难,稍微观察思考一下,就能给出答案:27。
不过,答案不是他所追求的。他希望孩子能从尽量多的视角去观察,给出不同的思路,从不同的角度去感受和体会:“27”这个数字可以怎么来构成,每一种构成方法,在现实空间中对应了怎样的几何图形。
比如,可以对四周的方块进行拆分,整个图形就等于4个2*3的方块(黄色部分),再加上中间1*3的方块(蓝色部分),于是,27 = 2*3 + 2*3 + 2*3 + 2*3 + 1*3 =(2*3)* 4 + 3 :
或者,把图形从前到后拆分成三层,每一层有9个方块,于是,27 = 9 + 9 + 9 = 9*3:
又或者,把图形“拦腰”分割,黄色部分是3*5的方块,上下分别是2*3的方块,所以,27 = 3*5 +(2*3)*2:
Steve Wyborney给很多数学老师做过讲座,分享他自己的教学方法。比如谈到怎么教学生乘法,一种方法是想办法把“3*8=24”、“7*3=21”、“6*7=42”这些“知识”直接存进孩子的大脑里,类似于我们小时候的背乘法表。
但更好的方法,是把“数”和“形”结合起来,让孩子用积木方块去对应和感受“6*7=42”在真实世界中的意义,它可以有很多种表示方式:
你看,把抽象的“数”和真实世界里的“形”对应起来后,孩子就能很直观、很深刻地理解乘法的含义。这样,当孩子想到6*7时,脑海里不是很“惰性”地蹦出“42”这么一个抽象的数字,而是能灵活地进行拆分、合并。而且你发现没有,在这个过程中,他们已经不断地在实践、感受和应用乘法的分配律、交换律和结合律了,尽管他们可能还根本不知道有这些公式。
6 * 7 = 7 * 6 (交换律)
6 * 7 = 6 * 2 + 6 * 5 (分配律)
6 * 7 = 3 * 7 + 3 * 7 = (3 * 2) * 7 = 2 * 7 + 2 * 7 + 2 * 7 = 3 * (2 * 7) (结合律)
Steve Wyborney说,有些家长以为,画方格、搭积木的方法只是在很低龄的“数数”、“简单加减运算”阶段适用,其实,当孩子开始深入学习四则运算,要理解更复杂的运算公式时,更需要通过和实物对应的方式,让孩子理解数字之间的关系,并且能够灵活利用、转换这些关系,才能获得真正的“数感”。
这让我突然想起几年前学习蒙特梭利的一些心得。
之前和大家分享过,逃逃刚来美国时,我曾经花了一段时间去学习蒙特梭利的教育理念和方法。当时完全是抱着“偷师”的心态,因为我发现美国的蒙氏幼儿园特别多,而且不仅有蒙氏幼儿园,还有蒙氏小学和中学,口碑都不错。家长圈流传着一个说法,从蒙氏出来的孩子数学普遍都比较好,尤其到了小学中高年级后,更能看出差距。
所以那段时间我挖了不少蒙氏的教学“内幕”,读了不少相关书籍,还参加了他们的一些讲座和培训课。
印象最深的一点,正好和Steve Wyborney老师所强调的很吻合,蒙氏也特别擅长用“数形结合”的方法,来培养孩子的“数感”。
比如用这样的“红蓝竖棒”,让孩子直接去触摸10以内的数字和加法:
用这种十个一串的“Bead Bars”让孩子理解“十进制”。视觉和触觉的直接感受,让幼儿园的小朋友也能轻松理解十、百、千和对比它们之间的关系:
其中,不同大小、形状的积木块,是蒙氏最常用的数学教具,几乎贯彻了整个学前和小学阶段。
比如孩子会发现,用2块、4块、6块积木都能拼出一个矩形,但用3块、5块就不行,从而体会到“偶数”和“奇数”的差异。
孩子还会发现,6个积木能分成2个同样长的,也能分成3个同样长的;而5个、7个积木却做不到。从这些尝试中,孩子能体会到合数和质数、因数和倍数...尽管他们还未必了解这些概念,但已经在真实世界里演练过很多遍了。
再比如,9个方块能达成一个正方形,因为它是个平方数;8个方块能搭出一个立方体,因为它是一个立方数:
即便到一些比较复杂的概念和公式,孩子依然可以从“数”和“形”的对应中获得最直观的感受。
比如勾股定理,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(a²+b²=c²)。孩子可以用积木块拼出下面三个正方形,然后将两个小正方形的方块重新组合,发现正好和大正方形一样(3²+4²= 9+16 = 25)。自己动手“实践”出来的定理,理解很深刻,不但不容易忘,在实际运用时也更灵活。
在小学低年级阶段,大多数孩子的数学是拉不开差距的,但越往上走,“数形结合”的基础打得越扎实,孩子的“数感”越强,就越发能显现优势了。
比如遇到这样的“数列求和”问题:
1+3+5+7+9+…+(2n-1)
学霸会仔细观察数列的特点,找到“首尾相加,乘以项数的一半”的思路。
1+3+5+7+9+…+(2n-1) = (1+2n-1)* n / 2 = n²
但“学神”级别的,往往会另辟蹊径。TA可能一眼就把这个数列所对应的真实几何表示给看出来了。
第一项,1,就是一个正方形积木方块(下图中的红色);
下一项,3,就相当于原先的正方形外面多一个“L”形(下图中的绿色);
再下一项,5,就再多加一层“L”(下图中的紫色);
每次新加的一层“L”,都比上一个“L”多2个积木方块,恰好就是数列中的下一项。
当脑海里呈现出这个图形,答案其实就已经摆在那儿了:
1开始的n个奇数的数列求和,其实就是在算一个边长为n的正方形的面积。
答案显而易见:n²。
记得读中学那会儿,班上就有一位这样的“学神”,我自认为已经是数学学霸了,但人家做起卷子来就是更快更准。有时觉得他的方法实在很妙,去恭维两句吧,他却摆出一副惊讶且“欠扁”的表情“啊?!这不是很自然就能想到的吗?”
所以啊,我们常说“学神”高不可攀,就是因为TA可能具备了其他同学没有的,一些自然而然的“感觉”。
这种感觉,在语文领域是“语感”,你还在挠头抓耳地琢磨“总分总”时,人家行云流水的大作已经一气呵成了;
在数学领域就是“数感”,你还在苦哈哈地计算,人家已经“降维打击”地想到了更简便、更不容易出错的方法。
EASTWEST
“数”和“形”是数学最基本的两大要素,前者抽象,后者具象。对于数学学习来说,只有将抽象的数和具象的形结合起来,让孩子体会到数字、公式、定理在真实空间中的含义,才能真正理解数学的本质。
并且,越学到后面,孩子就越能灵活地在“数”和“形”之间灵活转换,上面提到的学神解法,是用“形”去解答“数”的问题;而到了中学,孩子接触笛卡尔“直角坐标系”后,则是用“数”的方法去解答有关“形”的难题。
所以,无论是前面提到的网红数学老师,还是蒙氏教育的精髓,他们都非常注重孩子“数形结合”的能力。
另外,有一个关键点我刚才还没有提,就是他们的另一个共同点——慢。
Steve Wyborney老师的教学视频里,会多次提醒孩子,“现在你可以按下暂停键停下来,慢慢想一想”,我数了一下,有时一个几分钟的视频里,他就会这样提醒十多次。
蒙氏大家应该有所听闻,混龄制,一个班上孩子的年龄差别最大的可能有3-4岁。所以在蒙氏的课堂上,老师几乎不会统一讲课,而是让他们按照自己的节奏去完成一项又一项的“工作”。非必要情况,老师不会打扰孩子,而是让他们在“工作”中去慢慢去体会,比如上面提到的,用积木教具去理解和感受一些数学概念和公式。
关于“慢”这一点,我体会挺深的,和大家多掰几句。逃逃现在已经上初一了,回头看他之前的学习,有些地方我们曾经也走的稍稍有点儿急。
记得几年前我们有次暑假回国时,顺便给逃逃报了个线上数学班,因为他特别喜欢数学。课程内容挺好,老师讲的也不错。几次课后,老师还微信我,表扬逃逃课堂积极,作业完成得也很棒。但他却跟我抱怨,说老师讲得太快,不是听不懂的快,而是让他没有“成就感”的快。
比如老师出了一道题,还没等他想个七七八八,就已经开始讲解题思路和方法了。一节课下来,他的确学到了很多题型的解答方法,也能照着这些方法去完成作业,但却没有“寻找出这些方法”的乐趣和成就感。
我很庆幸他能自己发现这一点,如果单看课堂表现、作业、测验结果的话,家长是很难发现孩子的这种感受并及时调整的,学习中少了琢磨和思考的乐趣,久而久之,孩子可能对数学真就不那么感兴趣,这就亏大了。
这几年教育节奏越来越快,周围还时不时冒出些学前就把小学学完,小学把中学学完的“别人家的牛娃”,把氛围搞得越来越焦虑,但绝大多数正常孩子的智力进化其实并没那么快......
所有要培养“感觉”的东西,都不可能一触而就,要靠慢慢地积累,慢慢去体会。语感,靠一首一首诗背出来,一本一本书读出来。数感,也是在每一次“数”和“形”的对应中,琢磨出来的。迅速学到的,是技能,是方法,而慢慢体会到的,积累的,才是“感觉”。
不是你有否同感?
PS:Steve Wyborney老师的教学视频我还没给大家搬回来,一来是我自己都还没全部追完,需要再深究整理;二来因为是全英文的讲解,也担心对孩子有难度。我想,大家get到了他的“数形结合”的教学思想,在日常陪娃中就已经有启发和帮助了。
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