欧式几何建立的基础

欧氏几何就是建立在下面五条一般性的公理（也被称为一般性概念），和五条几何学公理（也被称为公设）之上的。其中五条一般性的公理分别是：

如果a=b, b=c, 那么a=c；

如果a=b，c=d，那么a+c=b+d;

如果a=b，c=d，那么a-c=b-d;

彼此能重合的物体（图形）是全等的;

整体大于部分。

看了这些公理，你可能会觉得它们都是大白话，但是在数学上，什么事情都不能想当然，都要有根据，如果一个结论实在找不到根据，它似乎又是符合事实的，只能称之为公理了。当然，如果是能够从其它公理推导出来的结论就不是公理，而是定理了。

对于几何学来讲，它还需要一些和几何有关的公理支持它欧几里得给出了这样五条：

由任意一点到另外任意一点可以画直线（也称为直线公理）；

一条有限直线可以继续延长；

以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）；

凡直角都彼此相等（垂直公理）；

过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线（平行公理）。至于平行线，就是平面上永不相交的两条线。

这五条公理读起来也是大白话，只有其中第五条是我根据它的含义用我的语言给你解释了一遍，原来的描述非常费解。对于前四条，数学家们都没有异议，对于第五条面对的挑战，我们后面讲。