1、命题：真命题、假命题
2、四种命题：逆命题与否命题、互为逆否命题、互为逆否命题的两个命题、同真同假。
3、充要条件：，则称
是的充分条件，是的必要条件。
4、逻辑联结词：或、且、非
、中至少一个为真为真
、中至少一个为假为假
真（或假）为假（或真）
5、全称量词：“任意”、“全部”、“所有”
6、存在量词：“存在一个”、“至少一个”
例1、下列语句中是命题的有 ，其中真命题的有 。
① 等边三角形是等腰三角形”；
② ；
③ ；
④ 一个数不是正数就是负数；
⑤“大角所对的边大于小角所对的边”；
⑥“为有理数，则xy也都是有理数”。
解析：命题①③④⑤⑥；真命题①
例2、命题“若，则x与y成反比例关系”的否命题是（ ）
A. 若，则x与y成正比例关系
B. 若，则x与y成反比例关系
C. 若x与y不成反比例关系，则
D. 若，则x与y不成反比例关系
解析：选D。条件及结论同时否定、位置不变
例3、写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假。
（1）两条平行线不相交
（2）两条对角线不相等的平行四边形不是矩形
（3）若，则
解析：（1）逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，为真命题。
否命题：若两条直线不平行，则它们相交，为真命题。
逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行，为真命题。
（2）逆命题：若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等，为真命题。
否命题：若平行四边形两条对角线相等，则它是矩形，为真命题。
逆否命题：若平行四边形为矩形，则它的两条对角线相等，为真命题。
（3）逆命题：若，则，为假命题。
否命题：若，则，为假命题。
逆否命题：若，则，为真命题。
例4、已知下列三个方程：，至少有一个方程有实根，求实数的取值范围。
解析：先求使三个方程都没有实根的实数的取值范围：
由
得 解得：
∴ 所求实数a的取值范围是：或
正确使用原命题与逆否命题等价
例5、已知是方程的两根，，则是的（ ）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
分析：利用韦达定理转换。判断命题为假命题可以通过举反例。
解析：∵ 是方程的两根 ∴ 的值分别为
∴
，但，事实上只要取，作为反例即可说明这一点，因此选A。
例6、设命题甲为：，命题乙为，那么甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
分析：先解不等式再判定。
解析：解不等式得
∵ ，但
∴ 甲是乙的充分不必要条件，选A。
一般情况下，如果条件甲为，条件乙为
当且仅当时，甲为乙的充分条件，当且仅当时，甲为乙的必要条件
当且仅当A=B时，甲为乙的充要条件
例7、若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
分析：通过B、C作为桥梁联系A、D
解析：∵ A是B的充分条件 ∴ ① ∵ D是C成立的必要条件
∴ ② ∵ C是B成立的充要条件 ∴ ③
由①③得 ④ 由②④得 ∴ D是A成立的必要条件，选B。
例8、是的必要条件还是充分条件？试说明理由。
解析：（1）当时，可得，即
则或，即或
故不能推得且（有可能得到），即且并非的必要条件。
（2）当且则分成两种情况讨论：或，不论哪一种情况均可化为。
∴ 且是的充分条件。
例9、设是方程的两个实根，试分析且是两根均大于1的什么条件？
分析：把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系：解题时需要搞清楚条件与分别指什么，然后再验证是还是还是。
解析：根据韦达定理得：
判定条件是 结论是
（还要注意条件中，需满足的大前提）
（1）由，得 ∴
（2）为了证明
可以举出反例：取
它满足，但不成立
上述讨论可知：是的必要但不充分条件
例10、分别写出由下列各种命题构成的“或”“且”“非”形式的复合命题：
（1）：李明是高中一年级学生 ：李明是共青团员
（2）：是无理数
解析：（1）或：李明是高中一年级学生或是共青团员
且：李明是高中一年级学生且是共青团员
非：李明不是高中一年级学生
（2）或：是大于2或是无理数
且：是大于2且是无理数
非：不大于2
例11、命题① 梯形不是平行四边形；② 等腰三角形的底角相等；③ 有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④ 60是5或2的公倍数。其中复合命题有（ ）
A. ①③④
B. ③④
C. ③
D. ①③
分析：②是简单命题，其余的均为复合命题。
解析：选A。
例12、命题：的否定是
解析：
命题：的否定是
解析：
例13、写出下列命题的否定。
（1）所有自然数的平方是正数；
（2）任何实数x都是的根；
（3）对任意实数x，存在实数y，使；
（4）有些质数是奇数
解析：（1）存在自然数的平方是负数或0；
（2）存在实数x，它不是的根；
（3）存在实数x，同时存在实数y，使
（4）任何质数都不是奇数。
例14、是的充要条件的是（ ）
A.
B.
C. 四边形的两条对角线互相垂直平分，四边形是正方形
D. 关于x的方程有惟一解
分析：逐个验证命题是否等价。当0时，有无数个解。
解析：对A，，，所以是的既不充分也不必要条件；对B，但，是q的充分非必要条件；对C，pq且qp，p是q的必要非充分条件；对D，pq且，即，p是q的充要条件，选D。
例15、“”是“”的（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：在这里“”是条件，而
所以
但
因此“”是“”故选B。
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