【证明】
1、AB AP=AC
作CDAB，交AP于D，AD、BC交于E，并作PDC外心F，
因，∠ACP=10°，∠CAP=20°，
故，∠CPD=30°，∠CFD=2∠CPD=60°，CDF为正三角形。
∠DCE=∠B=∠AEB=∠CED=50°，∠ADC=∠ACD=80°，∠DPF=∠DFP=20°，
故，FP=FC=FD=DC=DE，AC=AD，C、D关于AF对称，
∠PAF=∠PFA=10°，AP=PF=ED，
AC=AB AP。
2、∠PBC的度数。
（引用 AB AP=AC）
作CGAP，交BA的延长线于G。
作PD⊥BC，交BC于D。延长AP交BC于H。
连接PG。
则，AGC为底角80°的等腰三角形，AC=GC。
BGC为底角50°的等腰三角形，AB AG=GB=GC=AC。
因 AB AP=AC，
故 AP=AG，∠APG=∠AGP=40°。
另，容易算得∠DPH=40°，
故G、P、D共线，GPD为BC的中垂线，PB=PC,
∠PBC=∠PCB=20°。
【附】三角函数证法
1、AB AP=AC
作AI⊥BC，垂足为I，设AI=1。
则，AC=2，AB=1/sin50°
2//sin150°=AP/sin10°，AP=4sin10°
AB AP=1/sin50° 4sin10°
=(1 4sin10°sin50°)/sin50°
=[1 2cos(50°-10°)-2cos(50° 10°)]/sin50°
=2cos40°/sin50°
=2sin50°/sin50°
=2=AC
【注】预备知识
cos(α-β)-cos(α β)=2sinα sinβ
公式推导：
cos(α-β)=cosαcosβ sinα sinβ
cos(α β)=cosαcosβ-sinα sinβ
-：
cos(α-β)--cos(α β)=2sinα sinβ
变形公式：
cosα-cosβ
=2sin((α β)/2) sin((β-α)/2)
=-2sin((α β)/2) sin((α-β)/2)
2、∠PBC的度数。
根据角元形式的塞瓦定理，
sinA2/sinA1·sinB2/sinB1·sinC2/sinC1=1，
则有，
Sin80°/sin20°·sinB2/sinB1·sin10°/sin20°=1，
sinB2/sinB1
=sin²20°/(Sin80°sin10°)
=sin²20°/(cos10°sin10°)
=2sin²20°/sin20°
=sin20°/(1/2)
=sin20°/sin30°，
而B1 B2=50°。
欲使等式恒成立，显然B2=20°。
（此法可用于快速选择题。）
