大罕
有两道关于抽象函数定义域的问题,困扰着一批批学生。一些教师也难以讲清楚。我将这一类问题写成本文时,也颇费思量,数易其稿。
已知f(x)定义域为D,求f[g(x)]的定义域;
已知f[g(x)]定义域为D,求f(x)的定义域。
破解这类问题,关键还是在于对题意的理解。
两题的共同之处在于定义域为D都是指自变量x的取值范围。不同之处在于问题是顶替的过程,问题是化归的过程。
先看问题,何谓“顶替”?由f(x)定义域为D,可知x∈D,而f[g(x)]中g(x)顶替了f(x)中x的位置,于是g(x)必须承担x的责任,因此有g(x)∈D。解这个不等式可得到此处x的范围M,即f[g(x)]的定义域为M。
例1、已知f(x)定义域为(-3,5],求f(2x-1)的定义域。
解:f(x)定义域为(-3,5],∴-3<<istyle="mso-bidi-font-style:normal">x≤5,
把x换成2x-1,∴-3<2x-1≤5,解得-1<2x≤3.
∴f(2x-1)的定义域为(-1,3].
先看问题,如何“化归”?由f(x)定义域为D,可知x∈D.
而在f[g(x)]中令u=g(x),于是求f(x)的定义域就化归为求f(u)的定义域。而f(u)的定义域是指u的取值范围N,而x∈N可由x∈D“滚雪球”得到。所以f(x)的定义域为N.
例2、已知f(2x-1)定义域为(-3,5],求f(x)的定义域。
解:f(2x-1)定义域为(-3,5],∴-3<<istyle="mso-bidi-font-style:normal">x≤5,
令u=2x-1,则f(x)的定义域即f(u)的定义域,
由-3<<istyle="mso-bidi-font-style:normal">x≤5“滚雪球”得:-7<2x-1≤9.
∴f(u)定义域为(-7,9],即f(x)的定义域为(-7,9].
下面我们再举一个既需要“顶替”,又需要“化归”的例子。
例3、若函数f(2^x)的定义域为[-1,1],求f(log(2)x)的定义域。
解:f(2^x)的定义域为[-1,1],∴-1≤x≤1,
令u=2^x,则f(u)的定义域是u的取值范围,
由-1≤x≤1“滚雪球”得:2^(-1)≤2^x≤2^1,即1/2≤u≤2,亦即f(u)的定义域为[1/2,2],
在f(u)中把u换成log(2)x,因此有1/2≤log(2)x≤2,解得√2≤x≤4.
即f(log(2)x)的定义域为[√2,4].
总之,我们发现:
问题(类型)的特点是知简求繁,用的是“顶替”手法。这是一种顶替与担当。
问题(类型)的特点是知繁求简,用的是“化归”手法。运用换元,使得求f(x)定义域的问题化归为求f(u)的定义域的问题。这是一种化归与机智。
这正是:
抽象函数定义域,繁简互求陷迷离。
紧扣概念方向正, 顶替化归却顽疾。
2019/12/22
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