混沌学简介
1 引 言
远古时代，人们对大自然的变幻无常有着神秘莫测的恐惧，几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然有规律可循。经典力学的追随者认为，只要近似知道一个系统的初始条件和理解自然定理，就可计算系统的近似行为。世间事物的行为方式具有一种收敛性，这样的信念使经典力学在天文学上的预言获得了辉煌的成就，如海王星的发现。人们研究天王星时发现其轨道存在某些极小的不规则性，这使人们怀疑天王星外还有一颗未知行星。英国亚当斯根据开普勒定理算出了这颗新星何时出现在何方位，德国科学家戈勒进行探索，在与预计位置差1°的地方发现了此星。于是海王星的发现成为经典决定论最成功的例证。经典力学的成功无疑给人们巨大的信心，以致把宇宙看成一架庞大时钟的机械观占据了统治地位。伟大的法国数学家Laplace的一段名言把这种决定论的思想发展到了顶峰，他说：“设想某位智者在每一瞬时得知激励大自然的所有力及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者博大精深能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式之中，对他来说，没有什么事物是不确定的，将来就象过去一样清晰展现在眼前”。牛顿力学在天文上处理最成功的是两体问题，如地球和太阳的问题，两个天体在万有引力作用下围绕它们共同质心作严格的周期运动。正因如此，我们地球上的人类才有安宁舒适的家园。但太阳系不止两个成员，第三者的存在会否动摇这样的稳定和谐？Laplace曾用一种所谓的“摄动法”来修正三体运动的轨道，证明三体运动的稳定性。据说拿破仑曾问他此证明中上帝起了什么作用，他回答：“陛下，我不需要这样的假设”。 Laplace否定了上帝，但他的结论却是错的。因为三体运动中存在着混沌。
什么是混沌呢？混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动，其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性。如我们常说“差之毫厘，失之千里”。西方控制论的创造者维纳对这种情形作了生动的描述：钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；战事折，国家灭。
钉子缺这样一微不足道的小事，经逐级放大竟导致了国家的灭亡。系统对初值的敏感性又如美国气象学家洛仑兹蝴蝶效应中所说：“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀，可能会在德州引起一场龙卷风”，这就是混沌。
环顾四周，我们的生存空间充满了混沌。混沌涉及的领域――物理、化学、生物、医学、社会经济，甚至触角伸进了艺术领域。混沌学的传道士宣称，混沌应属于二十世纪三大科学之一。相对论排除了绝对时空观的牛顿幻觉，量子论排除了可控测量过程中的牛顿迷梦，混沌则排除了拉普拉斯可预见性的狂想。混沌理论将开创科学思想上又一次新的革命。混沌学说将用一个不那么可预言的宇宙来取代牛顿、爱因斯坦的有序宇宙，混沌学者认为传统的时钟宇宙与真实世界毫不相关。
下面让我们来看看经典的混沌现象。
2 混沌现象
2.1 湍流(turbulent flow)
湍流是人类寻常惯见的现象。湍流现象普遍存在于行星和地球大气、海洋与江河、火箭尾流、乃至血液流动等自然现象之中。
1883年英国著名试验流体力学家雷诺(O.Reynolds)做了一个实验，演示了湍流的产生。将流体注入一容器，在容器内另有一盛有色液体的细管，如图1所示，管内的有色液体可由小口A流出，大容器下端B处装一阀门，可用来控制水的流速。当大容器内的水流较缓时，从细管中流出的有色液体呈一线状，两种流体互不混杂(图a)，我们称这种流动为层流。加大阀门让水流速度增大，当流速大到一定程度时，两种液体开始相互混杂，液体的流动开始呈现涡漩状结构，而且大涡漩套小涡漩，运动状态变得极端“紊乱”(图b)，无法对运动状态做出任何预测，我们称这种流动为湍流。
| 图2 燃烧烟柱的湍流 |
图1 湍流的产生 (a) 互不混杂的层流 (b) 湍流
湍流是一种典型的混沌现象，湍流的发生机制是物理学中一个历史悠久的难题。我们都知道流体力学中有一套描述流体运动的基本方程，这些方程是基于光滑和连续概念的决定性偏微分方程，它们无法描述如此复杂，没有规则的湍流，即使撇开湍流的空间结构不谈，决定性的流体力学方程怎么能允许貌似随机运动的紊乱的时间行为呢？
在日常生活中我们人人都可以见到湍流现象。图2所示是一支点燃的香烟，青烟一缕袅袅腾空。开始烟柱是直立的，达到一定高度时，突然变得紊乱起来。这是在热气流加速上升的过程中，层流变湍流的绝妙演示。
图3 木星上的大气湍流
一个有关宇宙奇迹恰如其分的描述是木星上的大气湍流。它象一个不运动、不消退的巨形风暴，图3所示为哈勃太空望远镜拍摄的木星大气湍流，它是太阳系中一个古老的标志。这些图象揭示了木星的表面是沸腾的湍流，有东西向的水平带。
2.2 洛仑兹水轮
图4所示为洛仑兹(E.Lorenz)发现的、精确对应于一种力学装置的有名的混沌系统――洛仑兹水轮，这种简单的构造竟也能表现出令人惊讶的复杂行为。
图4 洛仑兹水轮
水轮顶端有水流恒定地冲下来，注入挂在轮边缘的水桶中。每只桶底部均有一小孔能恒定地漏水。如果上面的水流冲得很慢，顶部小桶不会装满，因而不能克服轮轴摩擦力，水轮也不会转动。如果水流加快。顶部水桶的重量带动了水轮，水轮可以用定速连续旋转，如图4(a)和图4(b)所示。一旦水流加快，旋转便呈混沌态，如图4(c)所示。传统的物理学家对于洛仑兹水轮这样简单的机械，直觉的印象告诉他们，经运一段长时间，这水轮只要水流冲速恒定，它一定会达到一个稳定状态。然而事实是，水轮永远不会停留在某一固定的角速度，而且永运不会以任何可以预测的形式重复。因为水桶是在水流下通过的，它们充满的程度取决于旋转的角速度。一旦水轮转得太快，水桶来不及充满或来不及漏掉足够的水，后面的桶比前面的桶重，则转动变慢，甚至发生逆转。
| 图5 滴水龙头的混沌现象 |
2.3 滴水龙头
大多数人都知道当水龙头开得较小时，水滴将很有规律地从水龙头滴下。连续滴水的时间间隔可以非常一致，不少失眠者因老想着下一滴水什么时候滴下而心烦意乱，不能入睡。但当水流速度稍高时，水龙头的行为就是一般人不大熟悉的了。经观察发现，在某一速度范围内虽然水滴仍是一滴滴地分开落下，但其滴嗒方式却始终不重复，就象一个有无限创造力的鼓手。这种从有规律的滴水方式向似乎是随机的滴水方式的转变类似于层流向湍流的转变。如图5所示，在水龙头下放一话筒，记录水滴敲击话筒的声音脉冲，就很容易发现这种无规则的混沌现象。
| (a) A射向B、C之间 (b) 先B后C (c) 先C后B 图6 布尼莫维奇台球实验 |
2.4 布尼莫维奇台球实验
如图6(a)所示，A、B、C是光滑水平桌面上三个完全相同的台球，B、C两球并列在一起，作为静止的靶子，A球沿它们中心联线的垂直平分线朝它们撞去。设碰撞是完全弹性的，碰撞后三球各自如何运动?若设想因A球瞄得不够准而与B、C球的碰撞稍分先后，则我们就会得到如图6(b,c)所示截然不同的结果。如果说A与B、C的碰撞是绝对同时发生的，后果如何？我们就会哑然不知所对。在这样一个简单的二维三体问题理，完全决定性的牛顿定律竟然给不出确定的答案！
2.5 Belousov-Zhabothsky振荡化学反应
两种化学药品相混合，输入液中反应物浓度保持常量，输出液中浓度则呈混沌性振动。
2.6 生理医学
伯克利大学Walter教授发现健康受试者的心电图具有混沌的图象，而濒临死亡受试者的心电图则是非常规律的振动图象。
2.7 计算器迭代产生的混沌
一般的计算器上都有x2键，取一个介于0和1之间的数，比如0.54321，按x2键。再按它，反复按下去，这个过程称为迭代，观察结果读数，你很快会发现，当你第九次按下x2键时，得到结果为0，此后02=0，不会有什么其他结果出现了。
如果你用x2-1来迭代，将很快发现，结果在0和-1之间不断循环，因为道理很简单：
02-1=-1, (-1)2-1=0
若以迭代次数为横坐标，每一次的迭代结果为纵坐标，可得如图7所示的迭代序列图。
图7 x2-1的迭代产生规则振荡，竖直方向是x值，水平方向是迭代次数
最后，我们来试一试迭代2x2-1，我们将得到一个如图8所示的迭代结果，这结果看上去远没有前面那么简单，事实上，他们看上去是无规的，或说混沌的。一个简单的，决定性的方程却产生了完全不能预测的、混沌的结果。
图8 2x2-1的迭代产生混沌
混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，早在20世纪初的1903年，法国数学家庞加莱（J.H.Poincare）从动力系统和拓扑学的全局思想出发指出了可能存在的混沌的特性，1954年，前苏联概率论大使柯尔莫哥洛夫指出不仅耗散系统有混沌，保守系统也有混沌，1963年，美国气象学家洛仑兹 (E.Lorenz) 在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出长期天气预报不可行的事实，他认为一串事件可能有一个临界点，在这一点上，小的变化可以放大为大的变化，这就是所谓著名的蝴蝶效应。蝴蝶在巴西煽动翅膀，可能会在德州引起一场龙卷风。混沌学的真正发展是在本世纪70年代后，1977年第一次国际混沌会议在意大利召开，它标志着混沌科学的诞生。1978年美国科学家费根鲍姆在《统计物理学》杂志上发表了关于普适性的论文。此文轰动了世界。从此以后，混沌的研究如星星之火，渐成燎原之势。
3 混沌学的研究方法
| a: 趋向吸引子的螺旋轨道； b: 似于周期的轨道（极限环）；c: 趋向于更复杂吸引子的轨道 图9 |
3.1 相空间几何与吸引子
研究表明，绝大多数描述系统状态的微分方程是非线性方程，当非线性作用强烈时，以往的近似方法不再适用。为此，法国数学家庞加莱提出了用相空间拓扑学求解非线性微分方程的定性理论。在不求出方程解的情况下，通过直接考查微分方程本身结构去研究其解的性质。该理论的核心是相空间的相图。相空间由质点速度和位置坐标构成。系统的一个状态可由相空间的一个点表示，称为相点。系统相点的轨迹称为相图。在相空间中，一个动力学系统最重要的特征是它的长期性态，一般动力学系统，随时间演变，最终将趋于一终极形态，此称为相空间中的吸引子。吸引子可以是稳定的平衡点(不动点) 或周期轨迹（极限环），见图9(a,b)，也可是持续不断变化没有规则秩序的许多回转曲线，这就是所谓奇怪吸引子，如图9(c)。
例：单摆的相图，考虑以下三种情况：(1)无阻尼小角度摆动；(2)无阻尼任意角摆动；(3)有阻尼小角度摆动；
| 图10 单摆小角度运动 |
解：(1)如图10所示的理想单摆，忽略一切阻尼，由牛顿第二定律，可得其运动方程为：
(1)
其中θ为摆角，g为重力加速度，l为摆长。若令 ，则(1)式成为：
(2)
当θ角很小时，sinθ≈θ，于是(2)式可写为：
| 图11 小角单摆的相图 |
(3)
对(3)式积分一次，可得
(4)
分别以θ和 为横坐标和纵坐标，则方程(4)的相图为一椭圆，c1为一与初始条件或总能量有关的积分常数，对不同的c1，可得一簇同心椭圆，如图11所示。该相图表明系统状态变化具有周期性。此即对应极限环吸引子。
(2) 若摆线为刚性轻质杆，则单摆可处于倒立状态，该单摆可做任意角摆动。单摆运动方程仍为(1)式，对(1)式积分一次可得：
(5)
(6)
c2为一与初始条件或总能量有关的积分常数，c2越大，能量越高。同时考虑小摆角和大摆角，可得如图12所示的相空间轨迹图。
图12 一般单摆运动的相图 图13 有阻尼小角单摆相图
由图可见，在小角度低能情况下，相轨迹呈椭圆形。随着能量逐渐提高，椭圆轨迹变成左右两端呈尖角枣核状，当振幅（摆角）±π时，轨线上出现鞍点G、G’，实际上都对应于倒立摆的状态，是不稳定的双曲点。当能量再高时，相轨迹不再闭合，摆将顺时针或逆时针转起来，不再往复摆动。
| |
（3）有阻尼小角度摆动
考虑了阻尼之后，摆角很小时的单摆运动方程为：
(7)
其中β=r/2m，为无量纲阻尼系数，r为阻尼系数。由情况（1）可知，单摆能量越小，椭圆相轨迹的长短半轴也越小，c1=0时，椭圆退化为一点，即原点，该点对应于单摆的稳定状态，对应于不动点吸引子。
3.2 奇异吸引子与蝴蝶效应
我们每天都收听或收看天气预报，尽可能准确进行长期天气预报是人类梦寐以求的愿望。计算机的发明和发展，为人类预报天气提供了有力的工具。大气实际上是无数冲来撞去的分子组成的，它们是不连续的，但在经典力学中，通常把大气当成连续、光滑的理想流体来代替。几百年前，欧拉和伯努利就写出了描述这种流体的运动方程。
| 图14 气候演变曲线 |
为了求解运动方程，我们必须用离散的时间来迭代。所谓迭代就是用计算结果做为当前值代入方程求得方程的下一个值。就像我们在前面计算器迭代混沌中所做的那样，只是现在把那里的迭代次数换成了时间而已。为天气预报所作的迭代必须以惊人的高速进行，每秒要进行1百万次以上的运算。我们都相信，你的运算方程越精确，你的预报越准确。而事实上影响大气运动的因素太多了，不可能把所有的因素都考虑进去。因此，只能抓住主要矛盾，略去次要因素。
洛仑兹是一个气象学家，在孩提时代就是个气象迷，反复记录着他家房子外的小观测站里温度计的读数。他同时也热爱数学，热爱数学的纯洁性。正是这两种爱好，使他在混沌研究这个领域做出了开创性的工作。
洛仑兹那时正在用他的"皇家马克比"计算机，对大气系统进行模拟，以便寻找进行长期天气预报的方法。有一次偶然的机会，洛仑兹没有把一次运算从头算起，他走了一条捷径，从中途去启动，把前面打印出来的结果做为初始条件输入。这新一轮的计算原本应当重复前一次的计算结果，因为程序并没有变，然而当他看到打印结果时，却目瞪口呆，他计算出来的气候演变曲线与上一轮的计算相去甚远，根本不是一个类型的气候，而是完全不同的两类气候，如图14所示。
检查问题出在他输入的数据上，计算机内存有6位数，如：0.506127，但打印时为了节省空间，只打出了三位数，即0.506。他本能地认为这千分之一的误差，不会对结果有什么大的影响，这个小差别仿佛一阵微风吹过，对大范围的气候不会有什么影响。事实却完全相反，气候的演变对初始条件极为敏感，可谓“差之毫厘，失之千里”，就好象巴西的一只蝴蝶拍拍翅膀，会在德州引起一场暴风雨一样，因此，洛仑兹称它为蝴蝶效应。蝴蝶效应实际上是动力学系统行为对初值敏感依赖性的一种通俗说法。
洛仑兹如果停留在蝴蝶效应上，说明气候变化的不可预见性，或长期天气预报是不可能的，那么他带来的不过是个坏消息，但是洛仑兹看到了几何结构。
洛仑兹把他的方程送进皇家马克比计算机，它的迭代次数大约每秒1次。图15显示了他的变量y的值的前3000次迭代结果。前1500次，y值周期性地摇摆，摆幅平稳增长。而后，它剧烈振荡，毫无规律。洛仑兹画出以x,y,z为坐标轴的相空间曲线如图15所示。由图可见，相图是三维的，它由两片组成，各片各自围绕着一个不动点。若状态轨迹经过一段时间之后停在一个不动点上，那么意味着系统进入了一个稳定的状态，这相轨迹将是一个平庸吸引子。然而，事实上，相轨迹在两片上“随机”地跳来跳去，说明系统的状态演变着有某种规律性，这种相图不对应任何一种定常状态，因此，被称为奇异吸引子，又称洛仑兹吸引子。
| 图15 洛仑兹奇异吸引子 |
奇异吸引子的奇异之处在于，相轨迹虽在两片上跳来跳去，但决不自身相交，即不构成任何周期运动，系统的状态变化具有随机的不可预测性，因此奇异吸引子又称为混沌吸引子。此外，系统状态演变对初始条件非常敏感，相图中两个初始时任意靠近的点，经过足够长的时间后，在吸引子上被宏观地分离开来，对应完全不同的状态。
4 混沌的数学模型
4.1 通向混沌的道路――一维虫口模型――逻辑斯蒂映射
马尔萨斯(T.R.Malthas)在其《论人口原理》一书中，在分析了19世纪美洲和欧洲的一些地区的人口增长规律后得出结论：“在不控制的条件下，人口每25年增加一倍，即按几何级数增长”。不难把“马尔萨斯人口论”写成数学形式。为此可把25年做为一代，把第n代的人口记为xn，马尔萨斯的意思是：
xn+1 = 2xn (4.1)
这是简单的正比例关系，还可以写得更一般些，即：
xn+1 = gxn (4.2)
其中g是比例系数。不难验证，差分方程的解为：
xn = gnx0 (4.3)
x0 是开始计算的那一代人口数。只要g>1，xn 很快就趋向无穷大，发生“人口爆炸”。这样的线性模型，完全不能反应人口的变化规律，但是稍加修正，就可以称为描述某些没有世代交叠的昆虫数目的虫口方程。
这项修正就是计入限制虫口增长的负因素。虫口数目太多时，由于争夺有限的食物和生存空间发生咬斗，由于接触传染而导致疾病蔓延，争斗使虫口数目减少的事件，这些事件的数目比例于xn2，于是方程4.2可以修正为：
xn+1 = gxn -gxn2 (4.4)
这个看起来很简单的方程却可以展现出丰富多彩的动力学行为。其实它并不是一个描述虫口变化的模型，它同时考虑了鼓励和抑制两种因素，反应出“过犹不及”的效应，因而具有更普遍的意义和用途。
方程(4.4)可写成一个抽象的、标准的虫口方程：
xn+1 = g xn(1- xn) (4.5)
如图16用迭代法考察解的特性，作y=f (x)及y=x的图，给出任一初值x0，得f (x0)，将其赋值给x1，得f (x1)…，如此循环下去。
| 图16 y = f (x)的迭代曲线 |
当0<g<1时，从任一初始值x0开始，代入方程(4.5)，可得x1，再把代入方程(4.5)，得x2，结果如图17(a)所示，最终迭代结果xn?￥=0，其意义可以认为，由于环境恶劣，虫口的繁殖能力有限(g太小)，使得种群最终走向灭亡。实际上，g代表了函数的非线性化的程度，g越大，gxn2越大，非线性化程度越高，抛物线的拱型越凸出，这种迭代也称单峰迭代。
当1<g<3时，迭代结果如图17(b)所示。比如取g =2, x0=0.9, x1=0.18,…, xn=0.5，它停在那儿不动了。即在xn=0.5处有一个点吸引子，一个稳定定态。若追踪这个种群，则会发现种群数目随着时间的演化而保持稳定的数值。
(a) 0<g<1 (b) 1<g<3 (c) g =3.1 (d) g =3.58
图17 不同g参数的虫口迭代结果
当g =3.1时，经过一定的步骤，迭代结果会稳定在两个值x1n与x2n之间跳来跳去地振荡，如图17(c)所示。这个漂亮的振荡称为周期2循环，即若跟踪种群，会发现种群数目每隔一年，数目重复循环一次，就象有些果树有大年小年一样，x1n和x2n也是定点吸引子。
当g=3.53时，迭代结果将在4个值之间振荡，即振荡周期增加了一倍，称为周期4循环。继续增加g值，还可得周期8循环，周期16循环等等。每一次解的周期都增加一倍。当g 达到某一临界值时，比如g =3.58附近，迭代结果再也不循环了，而是疯狂地振荡，永远也不会稳定下来，我们称为混沌态，如图17(d)所示。
若以g 为横坐标，迭代结果为纵坐标，可得如图18所示的分岔图。从临界值g =g￥开始，逻辑斯蒂映射进入了混沌区，在这种情况下，种群的数目就完全不能预测了。这种吸
图18 虫口模型分岔图 图19 分岔图的自相似精细结构
引子是不同于不动点和周期解的一种奇异吸引子。若追踪种群，你会认为种群的数目变化完全是随机的。然而仔细观察图18会发现，在复杂的混沌区，会发现一些具有周期解的窗口，如3，6，12，…或7，14，28…，窗口内的分岔现象与整体有着相似的结构，即这种迭代分岔图有着无穷嵌套自相似的精细结构，如图19所示。一系列的倍周期分岔意味着混沌状态的到来。这是通过倍周期分岔进入混沌的典型模式。
混沌系统的重要特征是：改变某一参量，分岔一个接一个。终极形态由不动点向周期2?周期4?周期8等转化，实现一系列周期倍化分岔，最终走向混沌。
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4.2 混沌效应的几何特性――贝诺勒拉伸折叠变换
混沌系统长期行为对初值的敏感依赖性，相空间轨迹精致复杂的结构，无穷层次嵌套的自相似性这一切如何从简单的确定性系统中产生出来的呢？理解这些惊奇现象的关键是要认识混沌的几何特性，即系统演化过程中由于内在非线性相互作用所造成的伸缩与折叠变换。
贝诺勒变换如下：
| 图20 拉伸折叠变换 |
给出三个相差很小的初始条件，在迭代至千次后所得结果相差甚远，即系统出现混沌，这样的变换过程，可认为：第一步，均匀伸长间隔[0,1]为原来的二倍，第二步将伸长的间隔折断，再折叠成原间隔。这种机制的一个通俗例子是所谓面包师变换。
所谓面包师变换，是受厨师揉面团的操作过程的启发而进行数学抽象出来的。图20示意了面包师变换的基本操作手续。第一种操作是拉伸变换；第二种变换为折叠变换。设面团最初为一单位正方形a，使面团在一个方向压扁成长方形b，然后拉长了的面团两端对齐折叠(或从中间切开后叠置)起来，成为一个新的正方形c，其中阴影区和非阴影区被分成四个隔开的区域，而不是a中所示的两个隔开的区域。假定在操作过程开始前，面包师先在面团上滴一滴红着色剂，那么，在揉面团过程中液滴同时被拉长、变薄，再折叠起来。随着面包师的操作不断重复进行，液滴被不断伸缩和折叠。经过足够长时间反复操作，就会发现面团中很多红色和白色交替出现的层次，原来相邻的两个着色剂微粒越来越相互分离，原来不相邻的两个微粒可能越来越靠近。据估计，这样反复操作只需进行20次，最初的着色剂滴长度就会被拉长到100万倍以上，其厚度则减小到分子水平。这是着色剂与面粉已经充分混合均匀了。
从上面的分析可见，用面包师变换来比拟动力学系统相空间的状态变化过程还是很贴切的。而且很容易想象混沌轨道几何图像的复杂性是如何形成的了。伸缩变化使相邻状态不断分离，这是造成轨道发散所必须的内部作用。实际上系统不允许无限延伸，而被限制在有限区域之内。因此，系统本身还须有折叠变换机制。折叠是一种最强烈的非线性作用，能造成许多奇异特性。仅有伸缩还不足以造成复杂性，不足以搅乱相空间轨道，只有伸缩与折叠同时进行，并且不断反复，才可能产生轨道的指数分离、汇聚，形成对初始条件的敏感依赖性、像揉面团那样有限次的伸缩和折叠变换是不够的。在系统周期内，有限次变换后，系统就进入稳定的周期态，以确定的方式运行。而在混沌区内，相空间中的伸缩和折叠变换永不停止，而且以不同的方式进行，永不重复。其结果必然造成轨道永无休止地时而分离，时而聚汇，盘旋缠绕，但并不自交。于是，轨道被搅乱了，指数分离和敏感依赖性产生了。这种操作的每一步都是确定的、可预言的，但反复不断进行下去，长期行为却变得不确定、不可预测了。
5 混沌的应用进展
我们处在一个混沌的世界中，混沌原理在我们生活中有着各种应用。
天文学方面：先辈们认清了火星、木星间小行星带的Kirkwood间隙起源问题，这些间隙相应于小行星混沌的运行轨道。Laskar给出了行星内部的混沌运动图像，推翻了太阳系稳定的观点。太阳系中地球混沌的特征时间大约是5百万年。
气象学：Massachusetts理工学院的Edward Lorenz 1963年混沌行为的实验证明使今天的气象学家承认大气的混沌使超过三两周到未来的精确的天气预报成为不可能。但是一些人希望混沌模型最终可使它有可能预报长期的天气趋势。
生理学：Berkeley的California的Walter Freeman说脑子利用混沌作为等待状态，他说：人类脑电图（EFG）的研究表明，当一位受试者在接受或处理信息时，脑电波图会变得有序，其余的脑研究者正在通过分析混沌的脑电图的图形寻找预报癫痫发作的方法。
国际政治学：Wayne州立大学为敌对的两个国家之间的军备竞赛编制了一个模型，一个两国都有反导弹防御系统模型实验表明，局势是混沌和不稳定的，最终将导致战争。
运输：混沌理论最现实应用的奖赏应归于美国一交通工程师小组，他们在1988年华盛顿会议期间把混沌与错综复杂的交通图形联系了起来，下次你被停停走走堵塞在高峰超速公路上，那你就把责任推给混沌。
艺术上：科学对艺术来说通常没有多大关系，但关于混沌，则却有着某种内在的吸引人的特质，美kaos艺术公司的董事长Kevin说，他支持“艺术或科学上的古怪或不同寻常的努力”。Kaos公司在95年主办了混沌芝家哥艺术节。艺术家和建筑师的反响是热烈的，他们说混沌理论把意义和内容带回到了装饰术中。混沌将有序无序巧妙地结合了起来。95年纽约当代艺术博物馆在纽约举办的“奇怪吸引子：混沌的符号”，在芝家哥举办的“奇怪吸引子：混沌的奇观”轰动美国。图21是混沌艺术的生动展现。
图21 混沌展现的艺术
6 混沌的哲学思考
6.1 认识混沌
关于混沌，我们已经形成了下列一些认识:
(1)我们在此讨论的混沌一般是从有序态演化进入混沌态，因此称为非平衡混沌。
(2)混沌是决定论系统的内在随机性，这种随机性与我们过去所了解的随机性现象，比如掷色子，抛硬币等有很大的区别:具有混沌现象的系统，其短期行为是可以知道的，只有经过长期演化，其结果才是不确定的。
(3)混沌对初值的敏感依赖性。在线性系统中，小扰动只产生结果的小偏差，但对混沌系统，则是"失之毫厘，差之千里"。
(4)混沌不是简单的无序，也不是通常意义下的有序。首先，混沌运动是一种典型的非周期运动，是周期运动对称性的破缺，而对称性破缺实质上意味着有序程度的提高，所以混沌运动是另一种类型的有序;混沌区的系统行为并非真的一团乱麻，混沌谱本身还具有无穷的内部结构，其中嵌套着各种周期窗口，非周期与周期难分难解地交叉、缠绕在一起，表明混沌行为是一种非平庸的有序性;混沌内部的无穷嵌套结构具有标度变换的不变性，局部放大后其结构与整体相似，这种自相似性也是某种意义上的对称性，因此，混沌可以看成具有更高层次上的对称特征的有序态。其次，非平衡混沌遵循着某些共同的规律:奇异吸引子行为。吸引子是描述力学系统状态在相空间的状态点的集合，这些点或点的集合对系统相空间的运动轨线有吸引作用;而有些点，则是状态达不到的点，称为排斥子。从相空间中任一点出发的运动轨线，总是愈来愈趋近于一定的吸引子，而远离排斥子。混沌吸引子与一般系统的吸引子不同，处于混沌态的系统其相轨迹进人吸引子后，两条相距非常近的轨线将发生指数分离。一方面，状态的演化最终要进入吸引子，另一方面，初值敏感依赖性又使系统呈现随机特点，形成了一个矛盾的统一体。
混沌绝不是一堆有趣的数学现象，混沌是比有序更为普遍的现象，它使我们对物质世界有了更深一层次的认识，为我们研究自然的复杂性开辟了一条道路，同时也引出了关于物质世界认识论上的一些哲学思考。
6.2 哲学思考
1 混沌理论提供了使人们领悟这个世界除有序和稳定以外，还有更多的东西。用《哈姆雷特》中的一句话即“在天国和地球上有比你哲理所想象的更多的东西”，混沌让人领悟了自然界圆满的描述必须包括复杂的行为。
2 混沌理论强迫我们正视我们的局限性，通常我们对世界的感性认识受制于我们对自然界的了解。混沌的概念将改变我们的世界观，将我们从钟样宇宙中解放出来，特别是在决定与随机、必然与偶然、有序与无序、稳定与非稳定，简单与复杂，局部与整体等矛盾关系和辩证转化条件与机制方面，给人们以新的启迪。
(1)决定论与非决定论
物理学中有两种人们普遍接受的认识自然的观点，一个是由牛顿经典力学建立起来的因果决定论观点，另一个是由统计力学和量子力学发展起来的概率论观点，这两种规律实验于不同的对象。
混沌的奇特之处在于，它把表现的无序与内在的决定性机制巧妙地融为一体，混沌是内在随机性的代名词。“决定性混沌”说明决定性与随机性之间存在着由此及彼的桥梁，这大大丰富了我们对偶然性和必然性这对辩证法基本范畴的认识。首先，混沌现象继量子力学不确定原理之后，又一次暗示，偶然性在科学上并非是无足轻重的东西。其次，混沌意味着，对某些决定性方程，我们对未来的预测能力受到某种新的根本限制，初始测量的不确定性会扩展于整个吸引子上。混沌将决定性和随机性集于一身，同时既是偶然性又是必然性的东西。它证明在表观的有序背后隐藏着一种奇异的无序，而在无序深处又隐藏着更奇异的秩序。
(2) 稳定性与不稳定性
混沌无论怎样杂乱无章，但既然可用吸引子描述，而吸引子又是有限大小的，因此使得无规无序的运动只能占据有限测度的空间。混沌吸引子的两条轨道既要指数分离，互相排斥、对立，又要保持在有限测度空间中，即被吸引子限制住，因而形成了完美的吸引与排斥的对立统一。系统内所有在吸引子处的状态都向吸引子靠拢，反应了系统运动“稳定性”的一面，而一旦到达吸引子处，其运动又相互排斥，这对应了“不稳定”的一面，“稳定”与不稳定形成了一个矛盾的统一体。
3 混沌理论让我们更贴近现实
自然界是统一的整体，在自然科学中有确定论及概率论两套描述体系，牛顿以来的科学传统比较推崇确定论体系，而统计力学着重于概率描述。但完全的决定论和纯粹的概率论都是抽象的极限情形，真正的自然界介于二者之间。对混沌的研究帮助我们从更为实际的角度认识世界，使我们从确定论和概率论的根深蒂固的人为对立中解脱出来，人们对偶然性和必然性这些哲学范畴的认识也会随之深化。
参考文献
[1] 蔡枢，吴铭磊 编 .《大学物理――当代物理前沿专题部分》. 专题八，高等教育出版社，北京，1996年6月
[2] 赵凯华编著 .《力学》. 高等教育出版社，北京
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