本文作者 北京师范大学系统科学学院副教授张江，授权转载。
二、分形输运网络
相信你和我一样已经厌倦了无休止的数据罗列和铺天盖地的幂律关系。究竟为什么大自然中会存在这样的幂律关系？为什么生物体新陈代谢和它的尺寸之间的幂律关系是3/4？本章就试图给出各种解释。
1、失败的几何解释
第一个开始探讨生物体的新陈代谢与体积之间关系的研究是早在1883年做出的，一个叫Rubner的生物学家首先对生物体的新陈代谢和生物体积（Body Size）之间的关系进行了简单的数学估算。
假设生物体是一个三维的球，生活在一个池塘里，如图：
根据简单的几何运算，不难求出：新陈代谢是与体积的2/3次幂呈正比的。我们知道它显然是错了，因为实际的数据不符，看来大自然设计的生物体并不是那么简单的几何形状，它有着更复杂的内部结构。
2、生命体中的河流
1990年的一天，新墨西哥大学的生态学家James Brown抱着一大堆数据走进了同在美国新墨西哥州的洛斯.阿拉莫斯国家实验室，该实验室以高能物理研究著称。而James要见的人正是一名粒子物理学家。作为生态学家的James此时的心情是复杂的，他已经收集了大量有关生物体的3/4幂律关系的数据，但是却不能给出一个满意、合理的解释。作为生态学家，他更擅长跟野外的生物打交道而不是摆弄数学公式。然而，大自然用神奇的数字3/4正在召唤着新的科学，面对着这股大自然的魔力，James终于走出了实验室开始跟摆弄数学公式的人打交道。然而，合作是困难的，大部分物理学家、数学家总是只对自己的问题感兴趣，对生态学家的数据嗤之以鼻，生物学有像相对论那样漂亮的理论吗？没有，所以，生物学是二等的理论。James已经经历了多次失败。这次能不能成功呢，James心想，谁知道呢，碰碰运气吧，也许这次要见的Geoffrey West是个与众不同的人！
终于，James走进了Geoffrey的办公室，只见一个瘦瘦高高，一脸银色胡子的斯文学者热情的冲他打招呼。这就是Geoffrey West，一名当时还不算很有名气的粒子物理学家。经过短暂的交流之后，James开始打消了开始的疑心，因为他发现Geoffrey不仅为人和善，而且对生物学理论充满了异乎寻常的兴趣。Geoffrey说，他一直在思考着一个问题，人为什么会衰老和死亡？我们都知道，任何一种生物，即使它的生活多么健康、安逸，它仍不免一死。然而，这样一种明显的事实是否可以有科学的解释呢？所以，Geoffrey正准备跳出粒子物理学，而转道研究如何解释生物的寿命长短以及衰老和死亡的原因。听到这里，James高兴的一把握住Geoffrey的手，太好了，也许你的问题能在我收集的这些数据中找到答案，就这样，二人一拍即合。
（注：这段故事的细节是作者根据适当的想象编写的，具体的年代也不详。事实是，Brown的确找过很多人合作，但都失败了，于是找到了West。而West也的确曾经反复思考过生物体衰老和死亡的问题，见http://www.physicscentral.com/people/2003/west.html）
就这样，West开始思考生物体普遍存在的3/4背后的机理和形成原因。首先，West意识到，新陈代谢和生物体重量（或体积）的关系是一种流量与存量之间的关系。而所有生物体内部都存在着流动，例如哺乳动物的血液系统、植物的根、茎、叶输运系统。
其次，从大量的生物学数据中，他发现，生物体内部的这些流动系统普遍都是一种不断分叉的网络结构。如图：
这些网络都具有类似于河流那样的分叉网络。考虑一股水流顺着山势而下，水流冲击着土地形成了河流。这股水流又会不停的形成各种分支，创造出更多的小河流。也许这种类比本身就抓住了事物的本质。生物体新陈代谢从外部吸收进能量流就好比一股从山上冲下来的水流，能量流可以创造出更多的分支结构，它们形成了生物体内的能量、物质的疏运体系。
最后，类似于河流网络，生物体内部的疏运网络具有一种分形结构。所谓分形就是指一种自相似的几何体。具体到河流中，如果你将任何一个局部支流放大到整个河流的尺度，你会发现它们是相似的。这样，河流每分叉一次，这个分叉就像一开始的主流一样再次作用到土地上，形成更多的分叉……，就好像无穷递归的计算机程序一样，这个分叉过程会越分越细。如果你要想计算整个河流网中的水流总量，那么你只需要把各个分支的流量加起来，而因为分支是自相似的，每个分支的流量都是总流量的一个分数，那么整个流量就是计算一个等比数列的和。那么这个总和跟一开始的河流主流流量有什么关系呢？幂律关系！想到这里，Geoffrey兴奋地开始在纸上摆弄起了数学方程。
为了推理的严格性，West首先做了下面三个假设：
（1） 生物体是由大量的类似于河流那样的输运网络填充整个生物体空间构成的；（也就是说，生物体内的河流要把整个生物体填满）；
（2） 整个输运网络的最后一级分叉是一些跟生物体体积无关的单元结构，例如动物体内的毛细管或者是植物的柄部大小是与生物体的个头大小无关的；
（3） 生物体已经由于长年的进化使得内部疏运网络的结构能够使得营养物质的流动阻力达到最小，从而流动最顺畅。
有了这三个假设，通过一系列数学推理运算，West就能得到体积和新陈代谢的3/4幂律关系，详细的推导请看这里。（参考G.West的文献）
虽然这个模型推导现在看来过于繁琐，但是，它的想法却抓住了本质的因素，这就是之所以生物体符合3/4幂律分布，是因为它们并不是简单的几何构型，而是一种具有分形结构的网络。分形几何结构通俗来讲就是一种自相似的结构。从云朵到山脉再到金融市场，人们已经发现这种自相似的结构普遍存在。因而从这一点来讲，West的解释模型具有普遍的意义：为什么大自然各种复杂系统中广泛存在着流量与存量之间的幂律关系？这是因为流动形成的分形网络填充了系统所存在的空间。
West也对自己最初的过于繁琐的解释模型并不满意，于是在1999年，他又在Science上发表文章，对3/4幂律关系进行了简化得多的解释。他的基本想法和一开始Rubner做出的2/3幂律关系的解释很相似。（参考G.West在《Science》上的文章）
首先，West假设生物体的新陈代谢率是与它的表面积成正比的。然而，生物体不是一个简单的实体的三维物体，而是一个具有复杂的分形结构的几何形体。如果设生物体的特征尺度为l，可以把它设想成生物体的高度或者宽度，那么如果它是普通的二维几何形体，那么它的表面积A就与特征尺度l呈平方关系，即： 。现在，生物体是一种分形的几何体，这样，按照分形几何，它的表面积与尺度之间的关系就有可能是分数维的： 。其中 是个介于0~1之间的分数。同样的推理也适用于体积，因此体积与长度之间的关系也服从一种比三维多一点的幂律关系，即 。为了最有效的利用能量，生物体会演化出非常有效的分形结构以最大化表面积而吸收能量，所以， 最大化即得到1，类似的推理也适用于，因此总体就有 ， ，从而有 。
我们看到，生物体的面积与长度不再成平方的关系而是三次方，同样体积不再是三次方而是四次方，分形结构使得生物体能够在更高的一个维度空间中发展，所以Geoffrey那篇文章题目就叫“生命的第四维”。分形的几何形状在Geoffrey的解释中仍然起到了关键的作用。
虽然West给出的解释模型仍然不算完美，但是毕竟他是第一个给出类似解释的人，并且分形网络的结构也非常有道理，且具有普遍意义。由于这一工作的重要性，G. West在之后的几年里名声大噪，他先是当选为复杂系统研究的世界中心：圣塔菲研究所的所长，后来又成为美国时代周刊的新闻人物。
3、从分形网络到最优化
前面提到，在West对3/4律进行解释有一个重要的前提假设，即生物体内存在着一个具有分形结构的输运网络。然而，生物体为什么会形成这样一种分形的自相似结构呢？这种分形结构的背后是否存在着更本质的原因？
人们普遍相信，大自然进化似乎总是要把生物打造的更加精巧，从某种程度上来说就是让它们具有更优越的、更有效率的结构。那么，很有可能生物体内部普遍存在的分形输运网络是因为自然进化造就出来的某种最优的、最有效率的结构。
1999年，物理学家Jayanth R. Banavar在Nature上发表文章给出了一个更加巧妙的模型来解释3/4律。Banavar的构想是这样的，考虑一个如图a这样的由若干节点连接而成的网络：
我们把这个网络设想成一个输运资源流的网络。在图中，节点0是提供给所有节点的资源流的源。每个节点可以跟它的有限个邻居节点相连，并且对于任意一个节点都必须保证有一条从源到它的路径。通过给这个网络加入一些合理的限制，同时运用数学推理，Banavar证明了，网络的拓扑结构可以决定资源运输的效率，而资源效率最高的结构应该是如下图c所示的网络，效率最低的网络是d所示的结构。具体推理过程，请参看这里。
Banavar的模型不仅能够解释3/4律，而且还能解释河流网络的形成等大自然中广泛存在的输运网络。但是值得注意的是，这个模型中新陈代谢率是与节点数成正比的，也就是它对应了某种存量。而总的生物重量则对应着网络上的总流量，这似乎与最初的新陈代谢流量和生物重量存量之间的关系有些颠倒了。从这一点来看，Banavar的理论也并非完美。（参看Banavar在Nature上的文章）
另一位采取类似思路对3/4律给出解释的是传热学专家Adrian Bejan，他研究人工传热系统的最优化设计已经多年，并提出了称之为构造定律（Construction law）的理论。构造定律是说，在一个由流动构造结构，结构又反过来影响流动的系统中，普遍存在着一种最优设计，这种最优设计就是一个分形网络，并且它可以使得系统中流动能够达到最大。从这个最大化流动速度的角度出发，Bejan把生物体看作是一个传热的机器，从而他同样得出了3/4分布律。
Bejan的Shape And Structure，书中提到了一个叫做“Construction law”的定律，认为各种分形结构的产生是为了使得流动最大化
通过这一章的讨论我们看到，生物体普遍存在的幂律分布关系背后很有可能是和某种自相似的分形输运网络有着密切的关系。而进一步的研究表明，这种分形网络的形成是因为系统优化某种函数的结果。那么，在自然界中，这种被优化的函数究竟是什么呢？它有没有更深刻的理论结果呢？我们需要在下一章继续讨论。
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