今天,我们将深入探讨高中数学中一个常见但也常被忽略的话题——'点、线、面之间的位置关系'。
这一知识点在几何学中占据重要地位,对于建立数学思维和解题能力都至关重要。在学习过程中,我们将着重介绍其中的重点、难点和常见考点,同时提供详细的例题和解答,让大家能够轻松掌握这一知识点。
定义
点(Point):几何图形的基本要素,没有长度、宽度、高度,仅有位置坐标。
线(Line):由无数点连在一起形成,是一维图形,没有宽度。
面(Plane):由无数条线段相互连接形成,是二维图形,没有厚度。
异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线。为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托
基本位置关系:
点与点的位置关系:相离、重合。
点与直线的位置关系:在、外、上、下。
点与面的位置关系:在、外。
直线与直线的位置关系:相离、相交、重合。
直线与平面的位置关系:相离、相交、平行、重合。
平面与平面的位置关系:相离、相交、平行、重合。
点与点相离时,多考察两点间距离公式。
设两个点A、B以及坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)
则A和B两点之间的距离为:
直线上两点间的距离公式。
设直线的方程为y=kx+m,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)为该线上任意两点,则:
这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式。若记α为直线AB的倾斜角,则:
同时,若已知直线公式和其中一个点,并且给定了距离,可以反求另一个点的坐标。
判断点线关系
方法1:
已知P(0,0), Q(3,2)两点,试判断P,Q是否在直线2x+3y=4的同一侧。
解:直线2x+3y=4即 直线2x+3y-4=0
把P、Q代入2x+3y-4
得到
20+30-4=-4 < 0
23+32-4=8 > 0
所以在两侧
方法2:
怎么判断坐标为(xp,yp)的点P是在直线的哪一侧呢? (注:这里的直线是有方向性的)
设直线是由其上两点(x1,y1),(x2,y2)确定的,直线方向是由(x1,y1)到(x2,y2)的方向。
假设直线方程为:Ax+By+C=0,则有:
A=y2-y1
B=x1-x2
C=x2*y1-x1*y2
D=A*xp + B*yp + C
若D<0,则点P在直线的左侧;
若D>0,则点P在直线的右侧;
若D=0,则点P在直线上。
方法3:利用矢量计算快速判定一点在直线的哪一侧
例如矢量A × 矢量B = 矢量C设想矢量A沿小于180度的角度转向矢量B将右手的四指指向矢量A的方向,右手的四指弯曲代表上述旋转方向,则伸直的拇指指向它们的叉乘得到的矢量C如果矢量C的方向相同,则在同侧;否则在两侧。
若将向量用坐标表示(三维向量),向量a=(x1,y1,z1),向量b=(x2,y2,z2),则:
点乘,也叫向量的内积、数量积、点积。
向量a·向量b = |a|*|b|*cosθ= x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
叉乘,也叫向量的外积、向量积、叉积。
|向量c| = |向量a×向量b| = |a|*|b|*sinθ
向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断 (用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向<180摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向);
向量a×向量b = | i j k |
| x1 y1 z1|
| x2 y2 z2|
= (y1*z2-y2*z1, x2*z1-x1*z2, x1*y2-x2*y1)
(i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)即 i=(1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1)
向量的外积不遵守乘法交换率:
向量a × 向量b = -向量b × 向量a
空间两直线的三种位置关系:
判断直线间的位置关系:
假设空间中有两直线L1,L2
其中:
两直线在空间中的位置关系,有异面,平行和相交。
通过以下几个步骤判断空间中两直线的位置关系:
空间内两直线相交:
结合t1和t2的公式可以计算出点P的坐标。
两异面直线之间的最短距离:
两异面直线之间的距离的计算方法,根据两异面直线的公垂线的方向向量,和直线上任意两点组成的方向向量来计算距离。
空间中直线与平面的位置关系,有且只有三种:
(1)直线在平面内——有无数个公共点;
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;
(3)直线与平面平行——没有公共点;
注:当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外。
符号表示:
直线a在平面α内,记为a⊂α;直线a与平面α相交于点A,记作a∩α=A;直线a与平面α平行,记作a∥α。
(1)在直线和平面的位置关系中,直线和平面平行,直线和平面相交,统称直线在平面外,可以用记号a⊄α来表示a∥α、a∩α=A这两种情形。
(2)一般地,直线a在平面α内,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内;直线a与平面α平行时,把a画成与表示平面α的平行四边形的水平边平行。
判断直线与平面的位置关系:
计算直线方向向量与平面法向量的点积,结果为零则说明直线方向向量与法向量垂直,则直线与平面平行,否则直线与平面就相交。
空间中平面与平面的位置关系,有且只有两种:
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线。
符号表示:两个平面α,β平行,记作α∥β;两个平面α,β相交于直线l,记作α∩β=l
通过今天的学习,我们深入了解了点、线、面之间的位置关系,理解了关键概念。在学习过程中,我们要注重实际应用,将理论知识与实际问题相结合,提高解题能力。希望大家在数学的学习中能够善用逻辑思维,灵活运用知识,取得更好的成绩。
期待与大家共同探讨更多数学知识,下期见!
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