今天，我们将深入探讨高中数学中一个常见但也常被忽略的话题——'点、线、面之间的位置关系'。
这一知识点在几何学中占据重要地位，对于建立数学思维和解题能力都至关重要。在学习过程中，我们将着重介绍其中的重点、难点和常见考点，同时提供详细的例题和解答，让大家能够轻松掌握这一知识点。
定义
点（Point）：几何图形的基本要素，没有长度、宽度、高度，仅有位置坐标。
线（Line）：由无数点连在一起形成，是一维图形，没有宽度。
面（Plane）：由无数条线段相互连接形成，是二维图形，没有厚度。
异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托
基本位置关系：
点与点的位置关系：相离、重合。
点与直线的位置关系：在、外、上、下。
点与面的位置关系：在、外。
直线与直线的位置关系：相离、相交、重合。
直线与平面的位置关系：相离、相交、平行、重合。
平面与平面的位置关系：相离、相交、平行、重合。
点与点相离时，多考察两点间距离公式。
设两个点A、B以及坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)
则A和B两点之间的距离为：
直线上两点间的距离公式。
设直线的方程为y=kx+m，点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为该线上任意两点，则：
这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式。若记α为直线AB的倾斜角，则：
同时，若已知直线公式和其中一个点，并且给定了距离，可以反求另一个点的坐标。
判断点线关系
方法1：
已知P(0,0), Q(3,2)两点，试判断P,Q是否在直线2x+3y=4的同一侧。
解：直线2x+3y=4即 直线2x+3y-4=0
把P、Q代入2x+3y-4
得到
20+30-4=-4 < 0
23+32-4=8 > 0
所以在两侧
方法2：
怎么判断坐标为(xp,yp)的点P是在直线的哪一侧呢? (注：这里的直线是有方向性的)
设直线是由其上两点(x1,y1)，(x2,y2)确定的，直线方向是由(x1,y1)到(x2,y2)的方向。
假设直线方程为：Ax+By+C=0，则有：
A=y2-y1
B=x1-x2
C=x2*y1-x1*y2
D=A*xp + B*yp + C
若D<0，则点P在直线的左侧；
若D>0，则点P在直线的右侧；
若D＝0，则点P在直线上。
方法3：利用矢量计算快速判定一点在直线的哪一侧
例如矢量A × 矢量B = 矢量C设想矢量A沿小于180度的角度转向矢量B将右手的四指指向矢量A的方向，右手的四指弯曲代表上述旋转方向，则伸直的拇指指向它们的叉乘得到的矢量C如果矢量C的方向相同，则在同侧；否则在两侧。
若将向量用坐标表示（三维向量），向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，则：
点乘，也叫向量的内积、数量积、点积。
向量a·向量b = |a|*|b|*cosθ= x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
叉乘，也叫向量的外积、向量积、叉积。
|向量c| = |向量a×向量b| = |a|*|b|*sinθ
向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断 （用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向<180摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）；
向量a×向量b = | i j k |
| x1 y1 z1|
| x2 y2 z2|
= (y1*z2-y2*z1, x2*z1-x1*z2, x1*y2-x2*y1)
（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）即 i=(1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1)
向量的外积不遵守乘法交换率：
向量a × 向量b = -向量b × 向量a
空间两直线的三种位置关系：
判断直线间的位置关系：
假设空间中有两直线L1,L2
其中：
两直线在空间中的位置关系，有异面，平行和相交。
通过以下几个步骤判断空间中两直线的位置关系：
空间内两直线相交：
结合t1和t2的公式可以计算出点P的坐标。
两异面直线之间的最短距离：
两异面直线之间的距离的计算方法，根据两异面直线的公垂线的方向向量，和直线上任意两点组成的方向向量来计算距离。
空间中直线与平面的位置关系，有且只有三种：
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；
(3)直线与平面平行——没有公共点；
注：当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外。
符号表示：
直线a在平面α内，记为a⊂α；直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A；直线a与平面α平行，记作a∥α。
(1)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用记号a⊄α来表示a∥α、a∩α＝A这两种情形。
(2)一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α平行时，把a画成与表示平面α的平行四边形的水平边平行。
判断直线与平面的位置关系：
计算直线方向向量与平面法向量的点积，结果为零则说明直线方向向量与法向量垂直，则直线与平面平行，否则直线与平面就相交。
空间中平面与平面的位置关系，有且只有两种：
(1)两个平面平行——没有公共点；
(2)两个平面相交——有一条公共直线。
符号表示：两个平面α，β平行，记作α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记作α∩β＝l
通过今天的学习，我们深入了解了点、线、面之间的位置关系，理解了关键概念。在学习过程中，我们要注重实际应用，将理论知识与实际问题相结合，提高解题能力。希望大家在数学的学习中能够善用逻辑思维，灵活运用知识，取得更好的成绩。
期待与大家共同探讨更多数学知识，下期见！
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