三角形的“五心”（内心、外心、重心、垂心、旁心）

一、三角形的内心和内心的性质

1、定义：“内心”是三角形的角平分线交点，也是三角形的内切圆的圆心。

2、内心性质

（1）三角形的任一个顶点和它的内心的连线必定平分这个角。

（2）内心到三角形三条边的距离相等，而且都等于这个三角形的内切圆的半径长。

（3）设一个三角形ABC的内心为“O”，内切圆半径为r，三条边长分别为a、b、c，则三角形ABC的面积

。即三角形的面积等于三角形周长与其内切圆半径乘积的一半。

二、三角形的外心和外心的性质

1、定义：“外心”是三角形的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

【注】垂直平分线也叫“中垂线”。

2、外心性质

（1）三角形的任意一条边的中点和外心的连线必定在这条边的垂直平线上，所以也必定垂直平分这条边。

（2）外心到三角形三个顶点的距离相等，而且都等于这个三角形的外接圆的半径长。

三、三角形的重心和重心的性质

1、定义：“重心”是三角形中线的交点。

2、重心性质（高频考点）

（1）三角形顶点与重心的连线必定在三角形的一条中线上。

（2）延长三角形的一个顶点与重心的连线，使得交于这个顶点的对边上一点，则这个交点为边上的中点。

（3）三角形的重心把三角形的任意一条中线分成两条线段，其中重心到三角形顶点的线段长是另一条线段长的2倍。

【注】三角形的三条中线长不一定相等，但在任何一条中线上，重心到顶点的线段和重心到顶点对边中点连线的线段长的比值都是2：1.

四、三角形的垂心和垂心的性质

1、定义：垂心是三角形高线的交点。

2、垂心性质

（1）三角形的顶点与垂心的连线必定在三角形的一条高线上。

（2）三角形任何一个顶点和垂心的连线必定垂直于这个顶点的对边。

五、三角形的旁心和旁心的性质

1、定义：三角形每一条内角平分线（所在直线）与另外两角的外角平分线相交于一点，交点就叫做旁心.

2、旁心的性质

（1）旁心到三角形三边的距离相等；

（2）三角形有三个旁切圆，三个旁心，旁心一定在三角形外；

（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

六、三角形的中心（等边三角形具有的性质）

三角形的中心也是一个比较特殊的交点，只有在正三角形中，三角形的重心、内心、外心和垂心全部交于一点时，这个交点才被称为三角形的中心。中心在其他的三角形中是不存在的。