冲刺2019中考，数学必刷题：抛物线动点问题，中考真题

如图，已知抛物线y＝(1/2)x^2+bx+c与直线y＝(1/2)x+3相交于A、B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A(0，3)，C(-3，0).

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴L上找一点M，使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q. 问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）将A(0，3)和C(-3，0)代入y＝(1/2)x^2+bx+c，得：c＝3，(9/2)-3b+c＝0

解得：b＝5/2，c＝3

∴ 抛物线的解析式为：y＝(1/2)x^2+(5/2)x+3

（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴L对称，所以对于在L上任意点M都有MD＝MC.

∴ |MB-MD|＝|MB-MC|

∴ 当B、C、M三点共线时，|MD-MC|取最大值，即|MB-MD|取最大值，也就是BC的长。

将抛物线解析式和直线的解析式组成方程组，可得点B的坐标。

由y＝(1/2)x^2+(5/2)+3，y＝(1/2)x+3解方程组得：{x1＝0，y1＝3}和{x2＝-4，y2＝1}

因为点B不在y轴上，所以舍去{x1＝0，y1＝3}

因此点B的坐标为：B(-4，1)

过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝1，CE＝EO-CO＝1，如图所示：

在Rt△BEC中，BC^2＝BE^2+CE^2＝2

∴ BC＝√2

∴ |MB-MD|的最大值为√2.

（3）在Rt△BCE中，

∵ BE＝CE＝1，

∴ ∠BCE＝45°

在Rt△ACO中，∵ AO＝CO＝3

∴ ∠ACO＝45°

∴ ∠ACB＝180°-45°-45°＝90°

∵ PQ⊥PA

∴ ∠APQ＝90°

如图，过点P作PG⊥y轴于点G，则∠PGA＝90°

设点P的横坐标为：x，则纵坐标为：(1/2)x^2+(5/2)x+3（x＞0），此时：

PG＝x，AG＝(1/2)x^2+(5/2)x

①当∠PAQ＝∠BAC时，△PAQ～△CAB

∵ ∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAG＝∠CAB

∴ △PGA～△BCA

∴ BG/PG＝AC/AG，即PG/AG＝BC/AC＝1/3

∴ x/[(1/2)x^2+(5/2)x]＝1/3

解得：x1＝1，x2＝0（舍去）

∴ 点P的坐标为：(1，6)

② 当∠PAQ＝∠ABC时，△PAQ～△CBA

∵ ∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠ABC

∴ △PGA～△ACB

∴ BC/AG＝AC/PG，即PG/AG＝AC/BC＝3

解得：x1＝-13/3（舍去），x2＝0（舍去）

∴ 此时无符合条件的点P

综上所述，存在点P(1，6)