首先给出我们的假设，那就是看待数学方式是从数学系的角度来看，不是单纯为了应用，所以如果你希望的是工科的那种数学分析或者微积分，那么下面建议直接可以略过，纯纯地是在浪费你的时间。又或者你想了解数学系到底是怎么看待这类分析课程的，那么听听我的胡言乱语也是极好的。
初学的时候建议选一本好的教材，一种比较合理的方式就是精读一本，其他的作为参考。这样做的原因就是，不管你承认与否，一本再好的教材总有写的并不是那么清楚的地方，一本再烂的教材也有可取之处，但同时考虑到投入与产出，效益最大化的方法就是精读一本好的，参考其他的。我在数学教材推荐里有推荐，大家可以参考，我个人比较推崇的精读的是张筑生老师的数学分析精讲，优点不再赘述。
在学习数学分析的时候通常会有很长的证明，很多人看数学证明的时候会把逻辑过一遍，逻辑通了，就认为自己掌握了证明。但是很遗憾你只是在检查，并没有真正去了解这个证明在说些什么，这是很致命，一般而言，这样做的后果就是三四天后你就忘了证明。
我本来想截一下隐函数定理的证明，但实在是太长了，光是检查逻辑就已经很繁琐，这种情况下，唯一解救你的方式就是你首先得有一个大图，即我们常说的（big picture),你得知道这个证明在干嘛，为什么要这样做，它背后的动机是什么，有一个整体的脉络。虽然我们可能没有办法还原每一个具体的技术细节，但是大图在，证明就在。这点在长论证的时候是很重要的。
说到大图我想起来一件事，大概是小学的时候吧，我们班少数同学抄笔记的方式很慢，抬头看黑板，低头写个T ,抬头，低头写h,再抬头，低头写i,写s，拼出This,写很久，最后写出整句This is a book.这大概和我们逐字逐句读证明的时候是很像的。
重视例子，正例也好，反例也好，数学是抽象的没错，但要理解这种抽象，你得从具体的例子中来，拿到一个定理，第一件事要问自己，有没有例子，有没有反例能推翻。很多人学习数学为了抽象而抽象，最后变成了定义，定理，证明。这些记了不少，但你要说数学品味和理解，对不起没有，这就很糟糕。
下面这本书几乎可以摧毁你的信仰三观，什么连续函数，但不可导。原函数存在但是黎曼不可积的，处处连续但处处不单调的函数。提供了各种各样的违反直觉的例子。当年看完这本书我一度怀疑自己学了个寂寞。有一种观点认为其实分析是很脏的，里面充斥着各种各样病态的现象，所以如果你不是深井冰，我建议可以转入代数的怀抱，那里面要美的多，当然这是后话。不管你是学分析，代数的，还是玩几何的，做基础的还是应用的，数学分析你都逃不过。
掌握基本的概念语言和技术。极限的概念，那套柯西的语言要能够信手拈来，无限小的分析方法，线性逼近等价与函数可微分的观念。这些在学习的过程中都是要逐步掌握的，最后一点就是要做题，但要适量，别整的跟高中刷题一样，选一本好的习题集。
我认为数分最好的习题集当然是谢惠民老师的《数学分析习题课讲义》，但是毫无夸张的说难度极大，相应的做完之后，你的水准大概就像坐着火箭筒一样飞升。也体现了数学这门学科的公平性，有付出才会有回报。我的建议就是谢老师在后面列出很多参考文献，文献上都有一些题目的解法，不会解的时候去找找。如果你的时间比较充裕，静下心来，好好地做一下这本习题集，会为你打下扎实的分析基础的。
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