Broadcast: Numpy中的广播机制

在numpy中，针对两个不同形状的数组进行对应项的加，减，乘，除运算时，会首先尝试采用一种称之为广播的机制，将数组调整为统一的形状，然后再进行运算。先来看一个最基本的广播的例子

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([1, 2, 3])
>>> b = 2
>>> a * b
array([2, 4, 6])

上述代码进行矩阵加法运算，numpy在处理时，首先将数组b延伸成为和数组a长度相同的一个数组，示意如下

然后再对应元素相加，从而实现加法运算。这种将较小数组进行延伸，保持和较大数组同一形状的机制，就称之为广播。

数组的广播是有条件约束的，并不是任意两个不同形状的数组都可以调整成同一形状，其操作逻辑如下

1. 第一步，判断输出结果的数组尺寸，即shape属性，取输入数组的每个轴的最大值
2. 第二步，将shape属性与输出数组不一致的话输入数组进行广播，要求二者之间只可以有一个轴尺寸是不同的，而且必须是1
3. 第三步，利用广播之后的数组进行对应项的算术运算，输出结果

结合以下例子来了解其操作过程

>>> a = np.arange(4)
>>> a
array([0, 1, 2, 3])
>>> a = np.arange(4).reshape(4, 1)
>>> a
array([[0],
       [1],
       [2],
       [3]])
>>> b = np.arange(5)
>>> b.shape
(5,)
>>> b
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> a + b
array([[0, 1, 2, 3, 4],
       [1, 2, 3, 4, 5],
       [2, 3, 4, 5, 6],
       [3, 4, 5, 6, 7]])

数组a为二维数组，4行1列，数组b为一组数组，也可以看做是1行5列的二维数组，二者相加，对应的输出数组的行为4行，取数组a的行数，列为5列，取数组b的列数。明确输出结果为4行5列的矩阵之后，将输入的数组a和b通过广播机制扩展为4行5列的数组。

对于数组a而言，其行数和输出数组相同，列数为1，通过广播机制扩展之后，其他4列和第一列的值一样；对于数组b而言，其列数和输出数组相同，行数为1，扩展之后将其他4行的内容设置为和第一行的内容一样，可以看做是生成了以下两个中间数组

>>> a = np.array([x for x in range(4) for y in range(5)], order = 'F').reshape(4, 5)
>>> a
array([[0, 0, 0, 0, 0],
       [1, 1, 1, 1, 1],
       [2, 2, 2, 2, 2],
       [3, 3, 3, 3, 3]])

>>> b = np.array([y for x in range(4) for y in range(5)], order = 'C').reshape(4, 5)
>>> b
array([[0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4]])

>>> a + b
array([[0, 1, 2, 3, 4],
       [1, 2, 3, 4, 5],
       [2, 3, 4, 5, 6],
       [3, 4, 5, 6, 7]])

当然实际上并没有生成中间数组，这里引入中间数组只是为了更形象的理解广播机制。再看一个官方的例子加深理解

>>> a = np.array([x for x in range(0,40,10) for y in range(3)]).reshape(4, -1)
>>> a
array([[ 0, 0, 0],
       [10, 10, 10],
       [20, 20, 20],
       [30, 30, 30]])
>>> b = np.arange(3)
>>> a + b
array([[ 0, 1, 2],
       [10, 11, 12],
       [20, 21, 22],
       [30, 31, 32]])

广播机制的示意图如下

如果数组无法无法进行广播，则会报错

>>> a = np.array([x for x in range(0,40,10) for y in range(3)]).reshape(4, -1)
>>> a
array([[ 0, 0, 0],
       [10, 10, 10],
       [20, 20, 20],
       [30, 30, 30]])
>>> b = np.arange(4)
>>> b
array([0, 1, 2, 3])
>>> a +b
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,3) (4,)

通过广播机制，在处理数组按位运算时，可以使得代码更加简洁，同时相比循环处理，提高了运算速度。

·end·